периодические решения ур Лапласа

[zoo]

Это навеяно одним из обсуждавшихся здесь постов.

Будем искать обобщенное решение одномерного уравнения Лапласа:
$u''(x)=1\quad x\in \mathbb{R}$
теперь нужны гран условия да?
Требуется найти $2\pi$-периодическое решение в $H^1$. Или строго говоря, в $H^1(\mathbb{S}),\quad \mathbb{S}=\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})$ -- окружность

Вариант решения: решением является функция $u(x)=x^2/2$ при $|x|\le \pi$, а дальше продолжаем $u$ $2\pi$-периодически на все $\mathbb{R}$. Ясно, что $u''=1$ на $[-\pi,\pi]$ и $u\in H^1(\mathbb{S})$. Или может в одном из этих утверждений я ошибся? может такое $u$ не есть решение. А как тода правильно решать эту задачу в $H^1(\mathbb{S})$?
Коллеги, мне хотелось бы чтобы вы дали возможность прочувствовать всю прелесть ситуации студентам. Не надо сразу писать разъяснения (я их знаю. )

[ewert]

zoo писал(а):

А как тода правильно решать эту задачу в $H^1(\mathbb{S})$?
Коллеги, мне хотелось бы чтобы вы дали возможность прочувствовать всю прелесть ситуации студентам. Не надо сразу писать разъяснения (я их знаю. )

Чего-то мне хумор опять отказывает. Вижу не прелесть, а просто жульничество: для второй производной следует брать $H^2$, а $H^1$ -- это для квадратичной формы оператора.

[zoo]

ewert писал(а):

zoo писал(а):

А как тода правильно решать эту задачу в $H^1(\mathbb{S})$?
Коллеги, мне хотелось бы чтобы вы дали возможность прочувствовать всю прелесть ситуации студентам. Не надо сразу писать разъяснения (я их знаю. )

Чего-то мне хумор опять отказывает. Вижу не прелесть, а просто жульничество: для второй производной следует брать $H^2$, а $H^1$ -- это для квадратичной формы оператора.

Обобщенное решение уравнения Лапласа по определению принадлежит $H^1$ [Ладыженская Краевые задачи мат. физики.]

[ewert]

Ну, Ольга Александровна осталась дома, и что она имела в виду -- совершенно не помню. Однако же: если уж решений хоцца именно обобщённых, то -- почему в аш-один, а не в эль-один? Как-то ни два, ни полтора.

[zoo]

ewert в сообщении #145351 писал(а):

Ну, Ольга Александровна осталась дома, и что она имела в виду -- овершенно не помню. Однако же: если уж решений хоцца именно обобщённых, то -- почему в аш-один, а не в эль-один? Как-то ни два, ни полтора.

это неформальный вопрос почему определение одно а не другое.
неформальный ответ: так удобней с точки зрения вариационной задачии и кроме того Лаплас естественным образом связан со скалярным произведением в $H^1_0$

[ewert]

zoo в сообщении #145355 писал(а):

неформальный ответ: так удобней с точки зрения вариационной задачи

формальная реакция: вообще-то обобщённые решения -- это решения для обобщённых производных, и разные энергетические функционалы тут не при чём

[zoo]

ewert писал(а):

zoo в сообщении #145355 писал(а):

неформальный ответ: так удобней с точки зрения вариационной задачи

формальная реакция: вообще-то обобщённые решения -- это решения для обобщённых производных, и разные энергетические функционалы тут не при чём

На здоровье, хотите решать задачу игнорируя ее специфику -- пожалуйста. Я пользуюсь стандартными определениями, ссылку на классический текст, в котором соответствующее определение содержится Вы получили. Если Вас это определение не удовлетворяет можете придумать свое, только кому это интересно?.

[ewert]

да оно не моё, а вполне стандартное. Хотя Вы правы -- трактовка обобщённого решения как результата минимизации энергетического функционала тоже вполне стандартна. Вспомнил сразу же после того, как ответил (а исправить не мог -- инет отрубился). Просто очень давно никому про это не рассказывал -- года два или три.

[zoo]

ewert в сообщении #145447 писал(а):

да оно не моё, а вполне стандартное

дайте ссылку на стандартный текст в котором обобщенное решение эллиптического уравнения определяется как функция из $H^2$.