Доказать линейность и непрерывность функционала

[catauggie]

Доказать, что функционал $F\lbrack x\rbrack=\int_0^1tx(t)\operatorname dt$ является линейным и непрерывным в пространстве $C^1$, найти его норму.

Линейность доказал элементарно:
$F\lbrack\alpha x\rbrack=\int_0^1t\alpha x(t)\operatorname dt\;=\alpha\int_0^1tx(t)\operatorname dt=\alpha F\lbrack x\rbrack$
$F\lbrack\alpha x+\beta y\rbrack=\int_0^1t\left(\alpha x+\beta y\right)\operatorname dt\;=\alpha\int_0^1tx(t)\operatorname dt+\beta\int_0^1tx(t)\operatorname dt=\alpha F\lbrack x\rbrack+\beta F\lbrack x\rbrack$

Но что делать с непрерывностью?

По определению $C^1$ - это функции $x=x(t)$, 1 раз непрерывно дифференцируемые на $[a,b]$, в котором норма определяется следующим образом:
$\left\|x\right\|=\underset{0\leq k\leq m}{\max}\underset{\lbrack a,b\rbrack}{\max}\left|x^{(k)}(t)\right|$


С другой стороны, из определения нормы следует, что
$\left|f(x)\right|\leq\left\|f\right\|\cdot\left\|x\right\|$
искал модуль $|F[x]|$:
$\left|F\lbrack x\rbrack\right|=\left|\int_0^1tx(t)\operatorname dt\right|\;\leq\int_0^1\left|tx(t)\right|\operatorname dt=$

Но дальше идей нет(( Помогите, пожалуйста, с решением. Заранее большое спасибо.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - что-то пропало, что-то вообще не собралось.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

catauggie
$|x(t)|\leq\|x\|$.