интеграл Римана

[zoo]

Однако не хотелось бы, что бы тема, поднятая на соседнем форуме, завяла.
можно ли в пространстве функций интегрируемых по Риману ввести какую-то топологию в каком-то смысле правильную? (например, есть же топология в $L^p$ скажем, или в множестве измеримых функций)






ps МОДЕРАТОРУ: если задумаете переносить эту тему в раздел "Помогите решить разобраться", предназначенный для "оказания помощи в решении стандартных школьных и студенческих задач по математике" то незабудьте вставить ссылку на стандартную школьную и студенческую литературу в которой этот вопрос рассмотрен

[Brukvalub]

zoo в сообщении #145171 писал(а):

можно ли в пространстве функций интегрируемых по Риману ввести какую-то топологию в каком-то смысле правильную? (например, есть же топология в $L^p$ скажем, или в множестве измеримых функций)

Топология, индуцируемая из $L^1$, Вас устроит?

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo в сообщении #145171 писал(а):

можно ли в пространстве функций интегрируемых по Риману ввести какую-то топологию в каком-то смысле правильную? (например, есть же топология в $L^p$ скажем, или в множестве измеримых функций)

Топология, индуцируемая из $L^1$, Вас устроит?

не устроит и сами понимаете почему: неполнота. Конкретизируем вопрос. Можно ли в ${\cal R}[a,b]$ ввести локальновыпуклую топологию так что бы это пространство стало полным

[Brukvalub]

zoo в сообщении #145174 писал(а):

Можно ли в ${\cal R}[a,b]$ ввести локальновыпуклую топологию так что бы это пространство стало полным

Легко.
Берем произвольное Гильбертово пространство, оно, как и ${\cal R}[a,b]$, обладает континуальным базисом Гамеля.
Взаимно однозначное соответствие между этими базисами позволяет отождествить эти пространства как векторные и перености топологию.
Если нам еще захочется сделать линейный функционал интегрирования по Риману непрерывным, то и это не проблема - просто насильственно добавляем это требование к построенной топологии.
Только "и шо оно ему дало, это разуменье"?

[Echo-Off]

.oO( вот что такое "абсолютно правильный и абсолютно бесполезный ответ", о котором слагают анекдоты с воздушными шарами )

[lofar]

Так, вроде бы, пространство $\mathcal R [a,b]$ полно в равномерной метрике. Просто ступенчатые функции в нем не плотны.

[Brukvalub]

Тоже вариант, отвечающий утвердительно на вопрос zoo, причем гораздо естественнее предложенного мной, но, все равно, не позволяющий создать новую схему построения интеграла Римана пополнением какого-либо примитивного класса функций по этой топологии.

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo в сообщении #145174 писал(а):

Можно ли в ${\cal R}[a,b]$ ввести локальновыпуклую топологию так что бы это пространство стало полным

Легко.
Берем произвольное Гильбертово пространство, оно, как и ${\cal R}[a,b]$, обладает континуальным базисом Гамеля.
Взаимно однозначное соответствие между этими базисами позволяет отождествить эти пространства как векторные и перености топологию.
Если нам еще захочется сделать линейный функционал интегрирования по Риману непрерывным, то и это не проблема - просто насильственно добавляем это требование к построенной топологии.

а ели она (построенная топология) не согласится с этим требованием?

Добавлено спустя 48 секунд:

lofar писал(а):

Так, вроде бы, пространство $\mathcal R [a,b]$ полно в равномерной метрике. Просто ступенчатые функции в нем не плотны.

ну да, но теперь остается предложить какое-нибудь плотное множество на котором интеграл Римана определялся бы тривиально. Это несколько в сторону от исходного вопроса, но Вы ведь понимаете чего в конечном счете я хочу получить

[Brukvalub]

zoo в сообщении #145291 писал(а):

а ели она (построенная топология) не согласится с этим требованием?

В умелых руках самая неуступчивая топология в конце-концов согласится! Можно поступить примерно так, как поступают, строя слабейшую топологию.

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo в сообщении #145291 писал(а):

а ели она (построенная топология) не согласится с этим требованием?

В умелых руках самая неуступчивая топология в конце-концов согласится! Можно поступить примерно так, как поступают, строя слабейшую топологию.

Сухой остаток от Вашего предложения, я так понимаю, следующий: а возьмем какую-нибудь топологию в которой интеграл непрерывен. Я всетаки расчитывал на некоторое альтернативное построение интеграла Римана по схеме: берем множество на котором интеграл задается тривиально и пополняем это множество в каком-то разумном смысле. А то, что на любой неформально поставленный вопрос можно дать много дурацких ответов это понятно.

[Brukvalub]

zoo в сообщении #145295 писал(а):

Я всетаки расчитывал на некоторое альтернативное построение интеграла Римана по схеме: берем множество на котором интеграл задается тривиально и пополняем это множество в каком-то разумном смысле.

Какой же Вы наивный!
Неужели, если бы такая простая схема была возможна, сотни лекторов математического анализа стали бы по старинке колупаться у доски с суммами Дарбу, критериями Дарбу и прочими причиндалами, занимающими массу драгоценного лекционного времени?
Уверен, что умные люди уже порядочно порыскали до нас в этом направлении и ушли к старым технологиям изложения Римановского интеграла, несолоно хлебавши

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo в сообщении #145295 писал(а):

Я всетаки расчитывал на некоторое альтернативное построение интеграла Римана по схеме: берем множество на котором интеграл задается тривиально и пополняем это множество в каком-то разумном смысле.

Какой же Вы наивный!
Неужели, если бы такая простая схема была возможна, сотни лекторов математического анализа стали бы по старинке колупаться у доски с суммами Дарбу, критериями Дарбу и прочими причиндалами, занимающими массу драгоценного лекционного времени?
Уверен, что умные люди уже порядочно порыскали до нас в этом направлении и ушли к старым технологиям изложения Римановского интеграла, несолоно хлебавши

Это, конечно, аргумент убедительный, я и сам это имею ввиду, но есть нюансы. Римановский интеграл читается на 1-2 курсе, когда слова "а теперь продолжим линейный функционал по непрерывности с плотного множества на все банахово пространство" или "рассмотрим пополнение пространства" могут не встретить взаимности у аудитории, а некоторые лекторы посчитают это излишней абстракцией по сравнению с суммами Римана. Умные люди, о которых Вы говорите может и порыскали и не исключено, что это написано в какой-то монографии, которую мы элементарно не знаем. Кроме того, интеграл Римана мало используется за пределами курса анализа, и людям которые связаны с теорией меры, и которые моглибы предложить другое построение этой теории, до него просто нет дела. Поэтому я и вынес вопрос на обсуждение.

[Brukvalub]

Дело в том, что на кафедре математического анализа мех-мата МГУ один из лекторов математического анализа является серьезным специалистом именно по разным теориям интегрирования (конечно, не только по ним).
Так вот, он излагает в общем курсе лекций анализа на мех-мате интегралы Курцвейля-Хейнстока и Мак-Шейна, эквивалентные интегралам Лебега и узкому Данжуа соответственно.
Уж он-то наверняка знал бы такую схему, какую ищите Вы, если она бы была. Но ничего подобного в его курсе лекций про Риманов интеграл не говорится.
Кстати, при случае спрошу его и отпишусь здесь.

[zoo]

Brukvalub писал(а):

Дело в том, что на кафедре математического анализа мех-мата МГУ один из лекторов математического анализа является серьезным специалистом именно по разным теориям интегрирования (конечно, не только по ним).
Так вот, он излагает в общем курсе лекций анализа на мех-мате интегралы Курцвейля-Хейнстока и Мак-Шейна, эквивалентные интегралам Лебега и узкому Данжуа соответственно.
Уж он-то наверняка знал бы такую схему, какую ищите Вы, если она бы была. Но ничего подобного в его курсе лекций про Риманов интеграл не говорится.
Кстати, при случае спрошу его и отпишусь здесь.

во-во спросите пожалуйста, кстати а это кто?

[Brukvalub]

Т.П. Лукашенко.