Параметризация кривой

[faraski]

Задание в общем звучит так: найти кривизну и кручение прямой $\begin{cases}x^2+y^2-z^2-1 = 0\\2x-y-z^2=0\end{cases}$ в точке $(1;1;1)$ . Но все формулы для уже параметризованной прямой. Вот и вопрос, как ее параметризовать, чтобы не бояться третей производной.
Исключил $z$ из первого уравнения, решил его, относительно x, получилось:
$\begin{cases}x = 2 \pm \sqrt{2-y^2-y-1}\\y=2x-z^2\end{cases}$

Но если продолжать дальше, и положить $z = t$, то лучше не станет. Есть ли другой способ перейти к параметру чуть проще?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

faraski в сообщении #1452712 писал(а):

прямой

Кривой?
Замените систему ур-й, задающих кривую (напр, замените первое ур-е на разность первого и второго...Получится что-то хорошее....)

[faraski]

DeBill в сообщении #1452767 писал(а):

faraski в сообщении #1452712 писал(а):

прямой

Кривой?
Замените систему ур-й, задающих кривую (напр, замените первое ур-е на разность первого и второго...Получится что-то хорошее....)

Да, кривую, опечатка вышла.

Так это я и сделал, вычел второе из первого, решил относительно икса, получил радикал, а дальше только хуже

[provincialka]

faraski в сообщении #1452712 писал(а):

Исключил $z$ из первого уравнения, решил его, относительно x,

Не надо решать. Как выглядит уравнение без $z$? Какую кривую описывает?

[nnosipov]

faraski в сообщении #1452769 писал(а):

решил относительно икса, получил радикал

Не надо так делать. Лучше выразите $x$ и $y$ через какой-нибудь параметр (параметр можно выбирать по-разному). Кстати, какую кривую задает то уравнение, из которого Вы $x$ выражали через $y$?

[DeBill]

faraski в сообщении #1452769 писал(а):

Так это я и сделал,

Ох, не заметил..
Я часто студентам даю такую задачу:
Нарисовать кривые, заданные уравнением:
а) $(x-1)^2+ (y-2)^2= 9$
б) $x^2-2x+1+y^2-4y+4=9$
в) $x^2+y^2=2x+4y+4$
И вот первую делают на раз, вторую - на два, а с третьей почему-то тормозят...

[faraski]

Так, выделил уравнение полого цилиндра(?) $(x-1)^2+(y+\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$, получил параметрическое выражение для икса и игрека: $\begin{cases}x = 1 + \frac{3}{2}\cos t \\ y = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\sin t\end{cases}$.
Получается, что $z = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{5+3\cos t - 3\sin t}$
Другого, как я понимаю, выхода нет, кроме как дифференцировать этот радикал, чтобы находить кручение/кривизну?

[nnosipov]

faraski в сообщении #1452790 писал(а):

получил параметрическое выражение для икса и игрека

А все ли там нормально? При каком $t$ получается точка $(x,y,z)=(1,1,1)$?

[faraski]

nnosipov в сообщении #1452806 писал(а):

faraski в сообщении #1452790 писал(а):

получил параметрическое выражение для икса и игрека

А все ли там нормально? При каком $t$ получается точка $(x,y,z)=(1,1,1)$?

Да, исправил арифметические ошибки. Получается, при $t = \frac{\pi}{2}+2\pi n$

[Утундрий]

Для наглядности: проекция кривой на плоскость $x-z$.

[EUgeneUS]

faraski в сообщении #1452790 писал(а):

Получается, что $z = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{5+3\cos t - 3\sin t}$

Опять двойка... потерялась.

[Padawan]

А производные неявной функции не пробовали искать?

[Sicker]

faraski
Я бы на вашем месте нашел $ y'(x), y неявно в заданной точке, ну а потом кривизну