2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 13:01 


08/04/20
12
Задание в общем звучит так: найти кривизну и кручение прямой $\begin{cases}x^2+y^2-z^2-1 = 0\\2x-y-z^2=0\end{cases}$ в точке $(1;1;1)$ . Но все формулы для уже параметризованной прямой. Вот и вопрос, как ее параметризовать, чтобы не бояться третей производной.
Исключил $z$ из первого уравнения, решил его, относительно x, получилось:
$\begin{cases}x = 2 \pm \sqrt{2-y^2-y-1}\\y=2x-z^2\end{cases}$

Но если продолжать дальше, и положить $z = t$, то лучше не станет. Есть ли другой способ перейти к параметру чуть проще?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.04.2020, 13:15 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.04.2020, 14:17 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 15:13 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
faraski в сообщении #1452712 писал(а):
прямой

Кривой?
Замените систему ур-й, задающих кривую (напр, замените первое ур-е на разность первого и второго...Получится что-то хорошее....)

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 15:18 


08/04/20
12
DeBill в сообщении #1452767 писал(а):
faraski в сообщении #1452712 писал(а):
прямой

Кривой?
Замените систему ур-й, задающих кривую (напр, замените первое ур-е на разность первого и второго...Получится что-то хорошее....)


Да, кривую, опечатка вышла.

Так это я и сделал, вычел второе из первого, решил относительно икса, получил радикал, а дальше только хуже

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
faraski в сообщении #1452712 писал(а):
Исключил $z$ из первого уравнения, решил его, относительно x,

Не надо решать. Как выглядит уравнение без $z$? Какую кривую описывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 15:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
faraski в сообщении #1452769 писал(а):
решил относительно икса, получил радикал
Не надо так делать. Лучше выразите $x$ и $y$ через какой-нибудь параметр (параметр можно выбирать по-разному). Кстати, какую кривую задает то уравнение, из которого Вы $x$ выражали через $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 15:43 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
faraski в сообщении #1452769 писал(а):
Так это я и сделал,

Ох, не заметил..
Я часто студентам даю такую задачу:
Нарисовать кривые, заданные уравнением:
а) $(x-1)^2+ (y-2)^2= 9$
б) $x^2-2x+1+y^2-4y+4=9$
в) $x^2+y^2=2x+4y+4$
И вот первую делают на раз, вторую - на два, а с третьей почему-то тормозят...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 15:52 


08/04/20
12
Так, выделил уравнение полого цилиндра(?) $(x-1)^2+(y+\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$, получил параметрическое выражение для икса и игрека: $\begin{cases}x = 1 + \frac{3}{2}\cos t \\ y = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\sin t\end{cases}$.
Получается, что $z = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{5+3\cos t - 3\sin t}$
Другого, как я понимаю, выхода нет, кроме как дифференцировать этот радикал, чтобы находить кручение/кривизну?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 16:24 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
faraski в сообщении #1452790 писал(а):
получил параметрическое выражение для икса и игрека
А все ли там нормально? При каком $t$ получается точка $(x,y,z)=(1,1,1)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 16:38 


08/04/20
12
nnosipov в сообщении #1452806 писал(а):
faraski в сообщении #1452790 писал(а):
получил параметрическое выражение для икса и игрека
А все ли там нормально? При каком $t$ получается точка $(x,y,z)=(1,1,1)$?


Да, исправил арифметические ошибки. Получается, при $t = \frac{\pi}{2}+2\pi n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Для наглядности: проекция кривой на плоскость $x-z$.


Вложения:
1.jpg
1.jpg [ 17.63 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 18:46 
Аватара пользователя


11/12/16
14037
уездный город Н
faraski в сообщении #1452790 писал(а):
Получается, что $z = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{5+3\cos t - 3\sin t}$


Опять двойка... потерялась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 19:31 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
А производные неявной функции не пробовали искать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация кривой
Сообщение08.04.2020, 23:15 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
faraski
Я бы на вашем месте нашел $ y'(x), y неявно в заданной точке, ну а потом кривизну

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group