Бесконечно вложенные радикалы

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452423 писал(а):

(Оффтоп)

А это, кстати, апелляция к личным качествам оппонента.

Могу сказать, что быть физиком тут ни при чём. Я получил, как мне кажется, приемлемое школьное образование по математике, знаком с математическими олимпиадами как школьными, так и студенческими (но не мат.специальностей, это да), знаком с распространёнными курсами мат.анализа. Если что-то выходит за эти рамки, то полагаю, это необходимо указать явно.

(Оффтоп)

Это замечание я пропустил, поэтому сейчас прокомментирую. Собственно, у меня тогда такой вопрос к Вам. Решали ли Вы в школьное время задачу типа такой:

Последовательность $\{a_n\}$ задана рекуррентно: $a_1=\sqrt{2}$ и $a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$. Докажите, что последовательность $\{a_n\}$ сходится и найдите ее предел.

Если нет, то умеете ли Вы ее решить сейчас? (Не обижайтесь, но я, ей-богу, уже не знаю, что и думать.)

[slavav]

Munin в сообщении #1452492 писал(а):

Я так понимаю, это задача о стационарных точках.

Да. Любая другая интерпретация задачи породит подмножество решений задачи о стационарных точках.
В этом смысле "стационарные точки" - наиболее общая постановка.

-- 07.04.2020, 21:44 --

Забыл добавить, что аккуратное рассмотрение "стационарных точек" требует упомянуть третью стационарную точку: $\infty$.

[mihaild]

А как при подходе с "бесконечной формулой" определять, например, $1\cdot\sqrt{2\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{\ldots}}}$?
В суммах, произведениях и дробях используется подход с "отсечением". Чем знак радикала хуже дробной черты? Или у цепной дроби $[1; 1, 1, 1, \ldots]$ тоже два значения? Рассуждения аналогичные, только вместо $10 \sqrt{\cdot}$ используется $1 + \frac{1}{\cdot}$.

[Munin]

nnosipov

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1452496 писал(а):

Собственно, у меня тогда такой вопрос к Вам. Решали ли Вы в школьное время задачу типа такой: ... Если нет, то умеете ли Вы ее решить сейчас?

В школьное - нет, не решал. Щас - да, умею.

nnosipov в сообщении #1452496 писал(а):

(Не обижайтесь, но я, ей-богу, уже не знаю, что и думать.)

Вот и я не знаю, что и думать. Вроде, я ясно обозначил, что возражаю вовсе не против пределов рекуррентно заданных последовательностей. Вроде, ясно произнёс, против чего. Но нет, меня не слышат раз за разом, я не встречаю ни малейшего желания разобраться в высказанной мной позиции.

-- 07.04.2020 21:50:47 --

slavav в сообщении #1452498 писал(а):

Любая другая интерпретация задачи породит подмножество решений задачи о стационарных точках.

О! Это теорема? :-)

slavav в сообщении #1452498 писал(а):

Забыл добавить, что аккуратное рассмотрение "стационарных точек" требует упомянуть третью стационарную точку: $\infty$.

Не принадлежит области определения отображения. Это нормально?

mihaild в сообщении #1452499 писал(а):

А как при подходе с "бесконечной формулой" определять, например, $1\cdot\sqrt{2\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{\ldots}}}$?

Ну вот есть такая формула. Другой вопрос, а можно ли ей приписать значение.

Вообще, на эту тему можно целый задачник придумать. Например, придумать бесконечную формулу, которой можно приписать любое значение из $\mathbb{N}.$

-- 07.04.2020 21:52:13 --

Munin в сообщении #1452500 писал(а):

Ну вот есть такая формула.

Вполне очевидно устроенная. Например, я готов сказать, какое число в ней в качестве операнда будет стоять на 8631-м месте.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Munin
Но нет, меня не слышат раз за разом, я не встречаю ни малейшего желания разобраться в высказанной мной позиции.

(Оффтоп)

Я возражал только потому, что ТС-у обсуждение такой позиции будет малополезно, он для этого еще слишком маленький (10-й класс). Это надо в отдельной теме обсуждать.

[slavav]

Munin в сообщении #1452500 писал(а):

slavav в сообщении #1452498 писал(а):

Любая другая интерпретация задачи породит подмножество решений задачи о стационарных точках.

О! Это теорема?

Да. Если другая интерпретация указывает значение, вы подставляете его в формулу и должны получить верное равенство. Подстановки должны работать!

Munin в сообщении #1452500 писал(а):

slavav в сообщении #1452498 писал(а):

Забыл добавить, что аккуратное рассмотрение "стационарных точек" требует упомянуть третью стационарную точку: $\infty$.

Не принадлежит области определения отображения. Это нормально?

Вот так: $\Phi \equiv 10\sqrt{\Phi} \Leftrightarrow \frac{\Phi}{10} \equiv \sqrt{\Phi} \Leftrightarrow \left(\frac{\Phi}{10}\right)^2 \equiv \Phi$.
А у последнего три предельные точки $0, 100, \infty$. Так что логично будет "замкнуть" числовую прямую.

[arseniiv]

(Munin)

Munin в сообщении #1452500 писал(а):

Не принадлежит области определения отображения. Это нормально?

Доопределяемо по непрерывности.

[Munin]

slavav в сообщении #1452507 писал(а):

Вот так: $\Phi \equiv 10\sqrt{\Phi} \Leftrightarrow \frac{\Phi}{10} \equiv \sqrt{\Phi} \Leftrightarrow \left(\frac{\Phi}{10}\right)^2 \equiv \Phi$.
А у последнего три предельные точки.

Боюсь, тут опять путаница между формулой и отображением. Пока речь о формулах - я согласен с вашими равносильностями, но не вижу, что такое "предельная точка формулы" (кроме как бесконечное синтаксическое дерево). А если речь об отображениях - то там равносильности ломаются, и вообще надо более чётко писать.

arseniiv в сообщении #1452508 писал(а):

Доопределяемо по непрерывности.

Бяка в том, что корни можно извлекать только из положительных чисел. Так что доопределение такое, чтобы стационарной точкой было $+\infty,$ наверное, возможно, а вот чтобы стационарной точкой было $\infty$ (без знака) - я не уверен.

[g______d]

slavav в сообщении #1452498 писал(а):

Забыл добавить, что аккуратное рассмотрение "стационарных точек" требует упомянуть третью стационарную точку: $\infty$.

Я бы сказал, что аккуратное рассмотрение требует ещё выяснить, при каких начальных условиях какая из них будет пределом. Что может быть весьма нетривиальным.

В целом по теме: как показывает опыт (в частности, эта тема) -- использовать бесконечные радикалы себе дороже, дольше времени потратится на апелляции. Рекуррентные формулы занимают столько же места. Надо только начальные условия аккуратно подобрать, чтобы не начать случайно с предельной точки (потому что задача тогда слишком упрощается).

[nnosipov]

g______d в сообщении #1452511 писал(а):

Я бы сказал, что аккуратное рассмотрение требует ещё выяснить, при каких начальных условиях какая из них будет пределом. Что может быть весьма нетривиальным.

Более чем. Проблема Куммера, например.

g______d в сообщении #1452511 писал(а):

Например, я сначала собирался сформулировать её в виде "найти предел последовательности, заданной выражениями $a_0=10$, $a_{n+1}=\sqrt{10a_n}$", в котором она несколько проще, чем было запланировано

Не понял: Вы автор задачи ТС? А ТС --- Ваш ученик?

[Munin]

Возможно, g______d - автор олимпиадной задачи...

[slavav]

Munin в сообщении #1452510 писал(а):

$\infty$ (без знака)

Я имел в виду $+\infty$. Прошу прощения.

[g______d]

nnosipov в сообщении #1452514 писал(а):

Не понял: Вы автор задачи ТС? А ТС --- Ваш ученик?

Нет. Я уже удалил. Я пытался понять, как бы я формулировал её на языке рекуррентных последовательностей, и первая взятая наугад начальная точка оказалась неподвижной.

Удалил, потому что ещё и неправильно переформулировал.

[dimka21]

nnosipov в сообщении #1452514 писал(а):

Не понял: Вы автор задачи ТС? А ТС --- Ваш ученик?

(Оффтоп)

Я уже не знаю смеяться или плакать мне

[g______d]

По-моему, эта тема показывает, что суммарная польза для общества от каких-то договорённостей об интерпретации бесконечных радикалов по умолчанию -- отрицательна :)