Бесконечно вложенные радикалы

[dimka21]

$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x$
$10\sqrt{x}=x$
$x(100-x)=0$
$x=0$ или $x=100$
Откуда появляется посторонний корень? И можете пожалуйста посоветовать литературу или статьи по данной теме.

[amon]

dimka21 в сообщении #1452132 писал(а):

Откуда появляется посторонний корень?

Тут вопрос - откуда вообще корни берутся и что они означают. Это рассуждение из серии

$$S=1-1+1\dots=1-S\Rightarrow S=\frac{1}{2}$$

[slavav]

Первый переход не обоснован.

[Munin]

Вполне обоснован, если понимать $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ как стационарную точку отображения $x\mapsto 10\sqrt{x}.$ Аналогичные другие задачи с бесконечными выражениями - понимаются именно так. Во многих школьных математических задачах "на смекалку" (не знаю, дают ли их в олимпиадах). В физических задачах, например, с бесконечно большими электрическими схемами. Даже, извините, при суммировании бесконечной геометрической прогрессии.

Другое дело, что при любом отображении никто не гарантирует, что:
- стационарная точка вообще есть;
- она единственна.
Легко привести контрпримеры к тому и к другому.

И это значит, что подобные "задачи" не стоит пытаться составлять самостоятельно. А когда их кто-то предлагает решить - надо понимать, что в этой постановке задачи всегда есть некоторая "незаконность": предлагают вычислить то, для чего не сформулировали ещё правил вычисления.

Впоследствии, в матанализе, такие правила будут сформулированы. Будет дана теория и рядов, и бесконечных произведений, и интегралов, и других аналогичных конструкций. Но не любых. И не все они будут иметь законное значение.

[nnosipov]

dimka21 в сообщении #1452132 писал(а):

Откуда появляется посторонний корень?

Ну, у квадратного уравнения обычно бывает два корня.

dimka21 в сообщении #1452132 писал(а):

И можете пожалуйста посоветовать литературу или статьи по данной теме.

Например, вот такая брошюра есть: Вавилов В.В. Итерации радикалов. М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, «Самообразование», 2000. Можно также заглянуть в список литературы, там еще есть.

[Евгений Машеров]

dimka21 в сообщении #1452132 писал(а):

Откуда появляется посторонний корень?

При возведении в квадрат. Очевидно, что $\sqrt x$ должно пониматься, как арифметический квадратный корень, но возведению в квадрат это не сказали. И оно за те же деньги возводит в квадрат
$10(-\sqrt x)=x$
Для которого очевидное решение $x=0$, бессмысленное при естественном понимании, в каком тут смысле корень.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1452198 писал(а):

При возведении в квадрат.

В данном случае при возведении в квадрат лишний корень не появляется, поскольку уравнения $10\sqrt{x}=x$ (до возведения в квадрат) и $100x=x^2$ (после возведения в квадрат) равносильны.

[VPro]

dimka21 в сообщении #1452132 писал(а):

$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x$
$10\sqrt{x}=x$
$x(100-x)=0$
$x=0$ или $x=100$
Откуда появляется посторонний корень? И можете пожалуйста посоветовать литературу или статьи по данной теме.

Очевидно, посторонний корень возник из перехода. Глядя на само уравнение, ясно, что корень, если он есть, строго положителен. А второе уравнение уже будет иметь нулевой корень. Значит, здесь он и возник.
Попробуем решить это уравнение другим способом. Прологорифмируем обе части, обозначив $y=\ln 10$:
$y+\frac{1}{2}\left(y+\frac{1}{2}\left(y+\dots\right)\right)=y\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots\right)=2y=\ln x $
откуда $x=10^2$.

[slavav]

Munin в сообщении #1452165 писал(а):

Вполне обоснован, если понимать $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ как стационарную точку ...

Вопрос был к автору. Это раздел ПРР, в конце концов.

-- 07.04.2020, 11:03 --

VPro в сообщении #1452214 писал(а):

... Прологорифмируем обе части ...

Прежде чем логарифмировать, нужно показать что это корректно. Например логарифмирование убивает ответ $x = 0$, который является правильным ответом, если мы рассматриваем стационарные точки отображения.

[Евгений Машеров]

nnosipov в сообщении #1452211 писал(а):

В данном случае при возведении в квадрат лишний корень не появляется, поскольку уравнения $10\sqrt{x}=x$ (до возведения в квадрат) и $100x=x^2$ (после возведения в квадрат) равносильны.

Второе уравнение получается также и из $-10\sqrt x = x$, что и даёт ложный корень.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1452224 писал(а):

Второе уравнение получается также и из $-10\sqrt x = x$, что и даёт ложный корень.

А ложный корень это какой? И при чем здесь уравнение $-10\sqrt x = x$? Вы зачем-то все усложняете. Правильный диагноз ТС был поставлен сразу, во втором сообщении (пардон, в третьем).

[VPro]

slavav в сообщении #1452216 писал(а):

VPro в сообщении #1452214 писал(а):

... Прологорифмируем обе части ...

Прежде чем логарифмировать, нужно показать что это корректно. Например логарифмирование убивает ответ $x = 0$, который является правильным ответом, если мы рассматриваем стационарные точки отображения.

Логарифмирование здесь очевидно корректно. Каждый член последовательности в левой части больше нуля.

[Евгений Машеров]

Ложный корень - 0.

[nnosipov]

В таких задачах самое содержательное --- это доказательство существования объекта, подлежащего вычислению. Сам был свидетелем, когда на одной олимпиаде для студентов технических специальностей предлагалось найти $x$, исходя из равенства

$$x^{x^{{x}^{\text{и т.д.}}}}=3.$$

Ответ к задаче, естественно, был $x=\sqrt[3]{3}$; "доказательство" прилагалось.

[vorvalm]

$10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt10...}}=x$
$\sqrt{10\sqrt{10\sqrt10...}}=x/10$
$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x^2/100=x$
$x=100$