Утверждение о функции Мебиуса

[vicvolf]

Я рассматриваю некоторую случайную величину, равную сумме случайных величин и меня интересуют характеристики этой случайной величины, которые зависят только от ее распределения. Естественно все эти случайные величины определены на одном вероятностном пространстве, но для определения характеристик случайной величины совершенно не важно, на каком вероятностном пространстве они определены. Я уже писал об этом на форуме:

vicvolf в сообщении #1401032 писал(а):

Когда экспериментатор имеет дело со случайными величинами, то основной вопрос, который его интересует, - это вопрос с какими вероятностями эта случайная величина принимает те или иные значения. С этой точки зрения интерес представляет не распределение вероятностей $P$ на $(\Omega,A)$, а распределение вероятностей на множестве значений случайной величины. (cтр. 44 А.Н. Ширяев, Вероятность).
Действительно для того, чтобы определить характеристики дискретной случайной величины, например математическое ожидание, нужно знать только значения случайной величины и вероятности этих значений, т.е. распределения вероятностей на множестве значений случайной величины. Задавать вероятностное пространство для определения характеристик случайной величины не требуется.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1451179 писал(а):

Когда экспериментатор имеет дело со случайными величинами, то основной вопрос, который его интересует, - это вопрос с какими вероятностями эта случайная величина принимает те или иные значения. С этой точки зрения интерес представляет не распределение вероятностей $P$ на $(\Omega,A)$, а распределение вероятностей на множестве значений случайной величины. (cтр. 44 А.Н. Ширяев, Вероятность).

Ага. И это называется "выборочное вероятностное пространство". Ну, тогда опишите выборочное вероятностное пространство для вашего случая.

[vicvolf]

В моем случае эксперимент не проводится. Это просто пример из Ширяева.

В первом утверждении было доказано, что случайная величина $g_n$, принимающая значение функции Мебиуса, имеет следующее распределение: $g_n=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$g_n=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $g_n=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.


Отсюда следует, что математическое ожидание случайной величины $g_n$ равно:

$E(g,n]=\nu_2(n)-\nu_1(n)=o(1)$.


Во втором утверждении показано, что функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=l+1}^n {g_k}$, где $l$ -член последовательности A028442 в OEIS, где функция Мертенса $M(l)=0$.

Закон повторного логарифма можно записать в виде. Почти всюду для случайной величины $S_n=\sum_{k=1}^n {g_k}$, где $g_k(k=1,...,n)$ независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием $E[g_k]=0$ и дисперсией $D[g_k]=\sigma^2$, выполняется: $sup |S_n|/\sigma(2\log\log(n))^{1/2}=1+o(1)$.

Далее несколько слов о независимости случайных величин и окончательное утверждение.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1451480 писал(а):

Далее несколько слов о независимости случайных величин и окончательное утверждение.

Вы сначала ответьте на предыдущие вопросы. Итак, что в утверждении 2 обозначает символ $g_1$?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1451502 писал(а):

[Вы сначала ответьте на предыдущие вопросы. Итак, что в утверждении 2 обозначает символ $g_1$?

Я уже ответил

vicvolf в сообщении #1451179 писал(а):

Я рассматриваю некоторую случайную величину, равную сумме случайных величин и меня интересуют характеристики этой случайной величины, которые зависят только от ее распределения. Естественно все эти случайные величины определены на одном вероятностном пространстве, но для определения характеристик случайной величины совершенно не важно, на каком вероятностном пространстве они определены.

Добавлю, что $g_1$ - это вырожденная случайная величина с распределением: с вероятностью 1 значение $g_1(1)=\mu(1)$. Все остальные значения принимаются с вероятностью равной 0. При построении случайной величины в $n$ -ом вероятностном пространстве распределение случайной величины сохранилось. Аналогично для случайных величин: $g_2,...,g_n$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1451574 писал(а):

с вероятностью 1 значение $g_1(1)=\mu(1)$. Все остальные значения принимаются с вероятностью равной 0.

Это значит, что $g_1$ --- константа (равная $\mu(1)$) на $\{1,2,\dots,n\}$.

Тот же вопрос относительно $g_2$.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1451584 писал(а):

Тот же вопрос относительно $g_2$.

Я уже писал выше. Распределение случайной величины сохраняется. С вероятностью $1/2$ значение $g_2(1)=\mu(1)$, с вероятностью $1/2$ - $g_2(2)=\mu(2)$. Все остальные значения принимаются случайной величиной c вероятностью $0$.

[nnosipov]

Тот же вопрос относительно $g_3$.

[vicvolf]

nnosipov Спасибо, я нашел ошибку в утверждении 2.

[Sycamore]

не быть, видимо, революционной оценке (повторному логарифму) ошибки распределения простых

vicvolf в сообщении #1451480 писал(а):

$sup |S_n|/\sigma(2\log\log(n))^{1/2}=1+o(1)$.

чью пыль лошадке-гипотезе Римана пришлось бы якобы дышать в обозе...

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1451950 писал(а):

nnosipov Спасибо, я нашел ошибку в утверждении 2.

Я первоначально разместил утверждение в разделе "Помогите решить, разобраться", так как не уверен в справедливости данных утверждений и хочу в этом разобраться.
Кстати хочу уточнить формулу в законе повторного логарифма

vicvolf в сообщении #1451480 писал(а):

Закон повторного логарифма можно записать в виде. Почти всюду для случайной величины $S_n=\sum_{k=1}^n {g_k}$, где $g_k(k=1,...,n)$ независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием $E[g_k]=0$ и дисперсией $D[g_k]=\sigma^2$, выполняется: $sup |S_n|/\sigma(2n\log\log(n ))^{1/2}=1+o(1)$.

[vicvolf]

Действительно при построении случайных величин на $n$- ом вероятностном пространстве изменяются значения случайных величин и соответственно сами случайные величины.

Обозначим случайные величины, соответствующие функции Мебиуса, определенные на $n$- ом вероятностном пространстве: $g'_1,g'_2,...,g'_n$.

Тогда, значения этих случайных величин соответственно равны:

$g'_1(1)=\mu(1),...,g'_1(n)=\mu(1);g'_2(1)=\mu(1),g'_2(2)=\mu(2),...,g'_2(n-1)=$$\mu(1),g'_2(n)=\mu(2);...;g'_n(1)=\mu(1),...,g'_n(n)=\mu(n)$.

При этом распределение случайных величин и соответственно характеристики (мат. ожидание, дисперсия и.т.д) сохраняются и соответствуют распределению и характеристикам случайных величин: $g_1,g_2,...,g_n$.

Поэтому для распределения случайных величин $g'_1,g'_2,...,g'_n$ справедливо утверждение 1.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1453277 писал(а):

Тогда, значения этих случайных величин соответственно равны:

$g'_1(1)=\mu(1),...,g'_1(n)=\mu(1);g'_2(1)=\mu(1),g'_2(2)=\mu(2),...,g'_2(n-1)=$$\mu(1),g'_2(n)=\mu(2);...;g'_n(1)=\mu(1),...,g'_n(n)=\mu(n)$.

Непонятно: $g'_2(n-1)=\mu(1)$? Напишите более подробно.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1453302 писал(а):

vicvolf в сообщении #1453277 писал(а):

Тогда, значения этих случайных величин соответственно равны:

$g'_1(1)=\mu(1),...,g'_1(n)=\mu(1);g'_2(1)=\mu(1),g'_2(2)=\mu(2),...,g'_2(n-1)=$$\mu(1),g'_2(n)=\mu(2);...;g'_n(1)=\mu(1),...,g'_n(n)=\mu(n)$.

Непонятно: $g'_2(n-1)=\mu(1)$? Напишите более подробно.

Это частный случай. Важно, что в общем случае, можно построить случайные величины с сохранением распределения.
Это следует из А.А. Боровков "Теория вероятностей", 1999 г. на основании Замечания 4 на стр. 123 (из утверждения 1 следует, что имеется сходимость по распределению последовательности случайных величин $g_1,g_2,...$) и Леммы 3 на стр. 123 (из сходимости по распределению последовательности случайных величин $g_1,g_2,...$ в одном вероятностном пространстве можно построить случайные величины $g'_1,g'_2,...$, сохраняющие распределение).

[nnosipov]

Опять какой-то бред пошел. Все уже давно знают, что ловить рыбку в мутной водичке это Ваше любимое занятие. Но вряд ли кто-нибудь здесь составит Вам компанию в этом. За сим adieu.