2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Геометрия Лобачевского.
Сообщение03.04.2020, 18:16 
Аватара пользователя


26/12/18
101
Здравствуйте, товарищи форумчане!
Еще со школы слышал про неевклидову геометрию. Вот недавно появилась свободная минутка - решил порыться на просторах интернета по этой теме. Много всяких популярных статей на эту тему, но чего-то конкретно оформленного не нашел. Прошу рекомендации по литературе.
PS. Модераторам: если не в ту ветку форума написал, прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение03.04.2020, 18:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Та же статья https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry достаточно информативна. Кроме того скорее всего в наработке интуиции сильно помогут построения в той или иной модели этой геометрии, типа модели Пуанкаре на внутренности круга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение03.04.2020, 19:15 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Вот книга для продвинутых школьников https://math.ru/lib/390

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение03.04.2020, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
+
Прасолов, Тихомиров. Геометрия.

-- 03.04.2020 21:10:02 --

+ может быть
Ефимов. Высшая геометрия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение04.04.2020, 12:10 
Аватара пользователя


26/12/18
101
Всем откликнувшимся - спасибо! Вообще - это интересная тема! Оказывается, прямых-то - и не существует. Ну или, по крайней мере, отличить их от дуги, получается нельзя. Вынос мозга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение04.04.2020, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
azurit-art в сообщении #1451129 писал(а):
Оказывается, прямых-то - и не существует. Ну или, по крайней мере, отличить их от дуги, получается нельзя.
???

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение04.04.2020, 12:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
azurit-art
Прямых существует. Отрезок прямой имеет наименьшую длину среди отрезков разных других кривых, которые можно провести между двумя точками. Тут уместно каждый раз сравнивать с евклидовой и римановой геометриями, где в каждом случае прямые имеют наименьшую возможную кривизну.

Ещё рассматривать кривизну полезно для понимания, откуда берутся гиперциклы и орициклы в гиперболической геометрии и почему прямые замкнуты в эллиптической — грубо говоря, для разомкнутости, по крайней мере в этом семействе геометрий и для плоских кривых постоянной кривизны, нужно, чтобы кривизна кривой была не больше нуля, и при этом кривизна кривой не может быть меньше внутренней кривизны пространства. В евклидовой геометрии она ноль, так что прямые разомкнуты, а все остальные плоские кривые постоянной кривизны — окружности. В эллиптической всё замкнуто, потому что нулевая кривизна нам недоступна, раз у пространства положительна. В гиперболической же появляется дырка: между прямыми и нулевой кривизной гиперциклы, нулевая кривизна у орициклов, а дальше как обычно окружности. Притом орицикл в принципе можно считать в каком-то смысле замкнутым как и евклидовы прямые — у него оба конца уходят в одну и ту же бесконечно удалённую точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение04.04.2020, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
azurit-art в сообщении #1451129 писал(а):
Оказывается, прямых-то - и не существует. Ну или, по крайней мере, отличить их от дуги, получается нельзя. Вынос мозга.

Я полагаю, эта реплика вызвана тем, что в аксиомах геометрии Лобачевского "прямыми" называется не то, что чертится по линейке, а что-то, что потом на чертеже может выглядеть кривыми линиями (дугами окружностей, например).

Тут надо разобраться с тем, что такое аксиоматическое построение геометрии. Есть на эту тему знаменитая цитата
    Цитата:
    аксиоматика... не обращается к нашим интуитивным представлениям. ...Не важно, как выглядят прямая и точка, можно об этом ничего не знать, и все равно построить геометрию. Сам Гильберт говорил об этом так:
      "Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках."
    После Гильберта стало ясно: главное чтобы аксиомы выполнялись, а вот как мы представляем себе объекты, описанные аксиомами, – совершенно не важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение04.04.2020, 13:25 
Аватара пользователя


26/12/18
101
Munin в сообщении #1451149 писал(а):
"прямыми" называется не то

Ага, я именно про это. Просто постулаты 1, 3 и 5 вроде-бы четко разделяют "прямые" и "дуги", а вот без 5-го как-то не "комфортно" уже - отличить "кто есть кто" уже так явно не получается. (Как сидеть на табуретке с двумя ножками :mrgreen: )

-- 04.04.2020, 13:43 --

Я не силен в неевклидовых геометриях, только вот пару параграфов прочел. Тема интересная.
arseniiv в сообщении #1451139 писал(а):
Отрезок прямой имеет наименьшую длину

А "длина" определяется как? Это как доказательства 5-го постулата с использованием другой формулировки того же 5го постулата?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение04.04.2020, 14:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #1451149 писал(а):
Тут надо разобраться с тем, что такое аксиоматическое построение геометрии.
М, ну ещё я бы сказал, что если бы мы жили в явно гиперболическом пространстве (с кривизной, ощутимой на бытовых масштабах, чтобы знать, что это точно оно), мы бы вполне чертили прямые по линейке. А вот то что в некоторых моделях этой геометрии, представимых в нашем евклидовом пространстве, прямые выглядят кривыми — ну на то они м модели, от них требуется передавать свойства не прямым образом (толку тогда от такой модели), а каким-то просто нам известным. Кроме того в проективной модели прямые прямые. Но мне нравится Пуанкаре сохранением углов.

azurit-art в сообщении #1451156 писал(а):
А "длина" определяется как?
А как определяется евклидова длина? Ничем не лучше. А насчёт длины в моделях — в каждой по-своему.

-- Сб апр 04, 2020 16:30:17 --

Вот эллиптическая геометрия реализуется в евклидовом пространстве куда понятнее — берём сферу, расстояния меряем обычным образом, просто по ней; углы меряются обычным образом. И ровно такое же вложение есть евклидова пространства как орицикла в гиперболическое. Но вот в обратную сторону ждать не стоит, и даже понятно на пальцах почему: в пространстве постоянной кривизны $\kappa_0$ можно засунуть лишь поверхность постоянной кривизны $\kappa > \kappa_0$, так что вот вам пожалуйста эллиптическая геометрия на сфере везде где есть сфера и вот вам пожалуйста евклидова на орицикле везде где есть орицикл. В каком-то смысле это напоминает ситуацию с попытками объяснения квантовой механики через классическую, когда правильно наоборот, только тут у нас есть радость иметь довольно вразумительные модели типа Пуанкаре и в обратном направлении.

Есть ещё модель на гиперболоиде в псевдоевклидовом пространстве. Вот она в таком же смысле хороша как и модель эллиптической геометрии на сфере в евклидовом. Но псевдоевклидово пространство опять же не имеет вразумительной в таком смысле модели в евклидовом.

-- Сб апр 04, 2020 16:33:27 --

(В математической терминологии «А в Б — вразумительная модель В» будет «А — подмногообразие (псевдо)риманова многообразия Б, и А изоморфно (псевдо)риманову многообразию В». Псевдо- приходится добавлять, чтобы учесть пример с моделью на гиперболоиде.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение04.04.2020, 15:47 
Аватара пользователя


26/12/18
101
arseniiv в сообщении #1451182 писал(а):
евклидова длина? Ничем не лучше.

Да, это верно.

-- 04.04.2020, 15:56 --

arseniiv в сообщении #1451182 писал(а):
Вот эллиптическая геометрия реализуется

Ага, это знакомо. Занимался в свое время строительной геодезией немного, правда, тогда это для меня с "другими" геометриями не ассоциировалось. Просто, в пределах 150м. кривизну Земли не учитывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение06.04.2020, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
См. Геометрия Лобачевского Л.С. Атанасян, 2017.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение06.04.2020, 04:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Brukvalub
Можете высказать мнение о книге Ефимова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение06.04.2020, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Книжка Атанасяна потрясающая. Сделать школьный учебник, но не по Евклиду, а по Лобачевскому, - это подвиг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение06.04.2020, 16:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Заинтриговали, кинул этой книжкой в друзей на всякий случай.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group