периодическое решение дифф. уравнения

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить такую задачу:

Найти периодическое решение уравнения

\[ y' = 2y\cos ^2 x - \sin x \]

.

Решаю как линейной, метод Лагранжа, но там интеграл вылезает и на этом мое решение останавливается.

[zoo]

ShMaxG писал(а):

Помогите пожалуйста решить такую задачу:

Найти периодическое решение уравнения

\[ y' = 2y\cos ^2 x - \sin x \]

.

Решаю как линейной, метод Лагранжа, но там интеграл вылезает и на этом мое решение останавливается.

если речь идет о $2\pi$ периодическом решении, то выпишите общее решение $y(x,c)$ и найдите $c$ из уравнения $y(0,c)=y(2\pi,c)$

[ShMaxG]

Хорошо, вот что получается:

\[ \begin{gathered} y\left( {x,x_0 } \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ y\left( {0,x_0 } \right) = y\left( {2\pi ,x_0 } \right) \hfill \\ - \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} = - e^{2\pi } \int\limits_{x_0 }^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ \end{gathered} \]

Далее,

\[ \begin{gathered} \left( {e^{2\pi } - 1} \right)\int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} = \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} = \frac{1} {{\left( {e^{2\pi } - 1} \right)}}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ f\left( {x_0 } \right) = A \Rightarrow x_0 \notin \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered} \]

Все ли верно?

[zoo]

ShMaxG писал(а):

Хорошо, вот что получается:

\[ \begin{gathered} y\left( {x,x_0 } \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ y\left( {0,x_0 } \right) = y\left( {2\pi ,x_0 } \right) \hfill \\ - \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} = - e^{2\pi } \int\limits_{x_0 }^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ \end{gathered} \]

Далее,

\[ \begin{gathered} \left( {e^{2\pi } - 1} \right)\int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} = \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} = \frac{1} {{\left( {e^{2\pi } - 1} \right)}}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ f\left( {x_0 } \right) = A \Rightarrow x_0 \notin \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered} \]

Все ли верно?

сделайте так, что бы от $c$ была линейная зависимость, Вы просто выражаете свободную постоянную чеорез ж.... поэтому получается сложно

[ShMaxG]

\[ \begin{gathered} y\left( {x,C} \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - Ce^{x + 0.5\sin 2x} \hfill \\ y\left( {0,C} \right) = y\left( {2\pi ,C} \right) \hfill \\ - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - C = - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - Ce^{2\pi } \hfill \\ C = - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ y\left( {x, - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} } \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} + \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} e^{x + 0.5\sin 2x} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

Где-то ошибка....

[zoo]

ShMaxG писал(а):

\[ \begin{gathered} y\left( {x,C} \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - Ce^{x + 0.5\sin 2x} \hfill \\ y\left( {0,C} \right) = y\left( {2\pi ,C} \right) \hfill \\ - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - C = - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - Ce^{2\pi } \hfill \\ C = - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ y\left( {x, - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} } \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} + \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} e^{x + 0.5\sin 2x} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

Где-то ошибка....

Извините, ошибки я искать не буду. Ситуация очень простая: у Вас должно получиться линейное уравнение на $c$. $2\pi$-периодические решения есть тогда и только тогда, когда это уравнение имеет решения.

[ShMaxG]

\[ \begin{gathered} - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - C = - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - Ce^{2\pi } \hfill \\ C = - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ \end{gathered} \]

Вот линейное уравнение и его решение, так?

[zoo]

ShMaxG писал(а):

\[ \begin{gathered} - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - C = - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} - Ce^{2\pi } \hfill \\ C = - \int {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} \hfill \\ \end{gathered} \]

Вот линейное уравнение и его решение, так?

пределы интегрирования какие?

[ShMaxG]

В общем я прихожу к такой функции:

\[ y\left( {x,C} \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt - Ce^{x + 0.5\sin 2x} \]

И С у меня получается такое:

\[ C\left( {e^{2\pi } - 1} \right) = - e^{2\pi } \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt \]

.

Но я не понимаю, почему это С одно и то же для всех

\[ {2\pi } \]

-периодических функций. Пробовал для условия

\[ y\left( {2\pi ,C} \right) = y\left( {4\pi ,C} \right) \]

, там С другое.

Вообще, причем здесь

\[ {2\pi } \]

-периодические функции, возможно существование решений с другим периодом?

[zoo]

ShMaxG писал(а):

В общем я прихожу к такой функции:

\[ y\left( {x,C} \right) = - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt - Ce^{x + 0.5\sin 2x} \]

И С у меня получается такое:

\[ C\left( {e^{2\pi } - 1} \right) = - e^{2\pi } \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt \]

.

Но я не понимаю, почему это С одно и то же для всех

\[ {2\pi } \]

-периодических функций. Пробовал для условия

\[ y\left( {2\pi ,C} \right) = y\left( {4\pi ,C} \right) \]

, там С другое.

Вообще, причем здесь

\[ {2\pi } \]

-периодические функции, возможно существование решений с другим периодом?

2пи при том, что правая часть 2пи периодична, решения с другим периодом искать сложнее, я про них ничего не утверждал, если если не понимаете почему надо решать то уравнение, которое я сказал, читайте Демидовича Лекции по мат. теории устойчивости

[ShMaxG]

Не, предполагается, что второкурсник справится с этой задачей без лекций по мат. теории устойчивости, поэтому должно быть соответствующее курсу решение.

[ShMaxG]

В общем, что мне удалось пока сделать:

1) Найти выражение для решений:

\[ {y\left( {x,C} \right) = \left( { - \int\limits_0^x {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} + C} \right)e^{x + 0.5\sin 2x} } \]

2) В кванторах записать то, что от меня требуется. Нужно показать:

\[ \begin{gathered} \exists K{\text{ }}\forall C \in K{\text{ }}\exists T_C \ne 0{\text{ }}\forall n \in Z{\text{ }}\forall x \in R_x : \hfill \\ \left( { - \int\limits_0^x {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} + C} \right)e^{x + 0.5\sin 2x} = \left( { - \int\limits_0^{x + nT} {\frac{{\sin t}} {{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} + C} \right)e^{x + nT + 0.5\sin 2\left( {x + nT} \right)} \hfill \\ \end{gathered} \]

Здесь К - некоторое множество постоянных, период Т зависит только от С.

[ShMaxG]

Задача решена, ответ сошелся. Тема закрыта.