2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 периодическое решение дифф. уравнения
Сообщение17.09.2008, 09:58 
Аватара пользователя
Помогите пожалуйста решить такую задачу:

Найти периодическое решение уравнения \[
y' = 2y\cos ^2 x - \sin x
\].

Решаю как линейной, метод Лагранжа, но там интеграл вылезает и на этом мое решение останавливается.

 
 
 
 Re: периодические функции
Сообщение17.09.2008, 10:56 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Помогите пожалуйста решить такую задачу:

Найти периодическое решение уравнения \[
y' = 2y\cos ^2 x - \sin x
\].

Решаю как линейной, метод Лагранжа, но там интеграл вылезает и на этом мое решение останавливается.

если речь идет о $2\pi$ периодическом решении, то выпишите общее решение $y(x,c)$ и найдите $c$ из уравнения $y(0,c)=y(2\pi,c)$

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 15:19 
Аватара пользователя
Хорошо, вот что получается:

\[
\begin{gathered}
  y\left( {x,x_0 } \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  y\left( {0,x_0 } \right) = y\left( {2\pi ,x_0 } \right) \hfill \\
   - \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  =  - e^{2\pi } \int\limits_{x_0 }^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Далее,

\[
\begin{gathered}
  \left( {e^{2\pi }  - 1} \right)\int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  = \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  = \frac{1}
{{\left( {e^{2\pi }  - 1} \right)}}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  f\left( {x_0 } \right) = A \Rightarrow x_0  \notin \mathbb{R} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Все ли верно?

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 15:26 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Хорошо, вот что получается:

\[
\begin{gathered}
  y\left( {x,x_0 } \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  y\left( {0,x_0 } \right) = y\left( {2\pi ,x_0 } \right) \hfill \\
   - \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  =  - e^{2\pi } \int\limits_{x_0 }^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Далее,

\[
\begin{gathered}
  \left( {e^{2\pi }  - 1} \right)\int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  = \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  \int\limits_{x_0 }^0 {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  = \frac{1}
{{\left( {e^{2\pi }  - 1} \right)}}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  f\left( {x_0 } \right) = A \Rightarrow x_0  \notin \mathbb{R} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Все ли верно?

сделайте так, что бы от $c$ была линейная зависимость, Вы просто выражаете свободную постоянную чеорез ж.... поэтому получается сложно

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 15:32 
Аватара пользователя
\[
\begin{gathered}
  y\left( {x,C} \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - Ce^{x + 0.5\sin 2x}  \hfill \\
  y\left( {0,C} \right) = y\left( {2\pi ,C} \right) \hfill \\
   - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - C =  - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - Ce^{2\pi }  \hfill \\
  C =  - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  y\left( {x, - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} } \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  + \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} e^{x + 0.5\sin 2x}  = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Где-то ошибка....

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 15:48 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
\[
\begin{gathered}
  y\left( {x,C} \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - Ce^{x + 0.5\sin 2x}  \hfill \\
  y\left( {0,C} \right) = y\left( {2\pi ,C} \right) \hfill \\
   - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - C =  - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - Ce^{2\pi }  \hfill \\
  C =  - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\
  y\left( {x, - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} } \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  + \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt} e^{x + 0.5\sin 2x}  = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Где-то ошибка....

Извините, ошибки я искать не буду. Ситуация очень простая: у Вас должно получиться линейное уравнение на $c$. $2\pi$-периодические решения есть тогда и только тогда, когда это уравнение имеет решения.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 15:49 
Аватара пользователя
\[
\begin{gathered}
   - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - C =  - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - Ce^{2\pi }  \hfill \\
  C =  - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Вот линейное уравнение и его решение, так?

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 15:52 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
\[
\begin{gathered}
   - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - C =  - e^{2\pi } \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  - Ce^{2\pi }  \hfill \\
  C =  - \int {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Вот линейное уравнение и его решение, так?

пределы интегрирования какие?

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 17:26 
Аватара пользователя
В общем я прихожу к такой функции:

\[
y\left( {x,C} \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt - Ce^{x + 0.5\sin 2x} 
\]

И С у меня получается такое:

\[
C\left( {e^{2\pi }  - 1} \right) =  - e^{2\pi } \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt
\].

Но я не понимаю, почему это С одно и то же для всех \[
{2\pi }
\]-периодических функций. Пробовал для условия \[
y\left( {2\pi ,C} \right) = y\left( {4\pi ,C} \right)
\]
, там С другое.

Вообще, причем здесь \[
{2\pi }
\]-периодические функции, возможно существование решений с другим периодом?

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 17:31 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
В общем я прихожу к такой функции:

\[
y\left( {x,C} \right) =  - e^{x + 0.5\sin 2x} \int\limits_{x_0 }^x {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt - Ce^{x + 0.5\sin 2x} 
\]

И С у меня получается такое:

\[
C\left( {e^{2\pi }  - 1} \right) =  - e^{2\pi } \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}} dt
\].

Но я не понимаю, почему это С одно и то же для всех \[
{2\pi }
\]-периодических функций. Пробовал для условия \[
y\left( {2\pi ,C} \right) = y\left( {4\pi ,C} \right)
\]
, там С другое.

Вообще, причем здесь \[
{2\pi }
\]-периодические функции, возможно существование решений с другим периодом?

2пи при том, что правая часть 2пи периодична, решения с другим периодом искать сложнее, я про них ничего не утверждал, если если не понимаете почему надо решать то уравнение, которое я сказал, читайте Демидовича Лекции по мат. теории устойчивости

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 17:50 
Аватара пользователя
Не, предполагается, что второкурсник справится с этой задачей без лекций по мат. теории устойчивости, поэтому должно быть соответствующее курсу решение.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 22:08 
Аватара пользователя
В общем, что мне удалось пока сделать:

1) Найти выражение для решений:

\[
{y\left( {x,C} \right) = \left( { - \int\limits_0^x {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  + C} \right)e^{x + 0.5\sin 2x} }
\]

2) В кванторах записать то, что от меня требуется. Нужно показать:

\[
\begin{gathered}
  \exists K{\text{ }}\forall C \in K{\text{ }}\exists T_C  \ne 0{\text{ }}\forall n \in Z{\text{ }}\forall x \in R_x : \hfill \\
  \left( { - \int\limits_0^x {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  + C} \right)e^{x + 0.5\sin 2x}  = \left( { - \int\limits_0^{x + nT} {\frac{{\sin t}}
{{e^{t + 0.5\sin 2t} }}dt}  + C} \right)e^{x + nT + 0.5\sin 2\left( {x + nT} \right)}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Здесь К - некоторое множество постоянных, период Т зависит только от С.

 
 
 
 
Сообщение18.09.2008, 09:30 
Аватара пользователя
Задача решена, ответ сошелся. Тема закрыта.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group