Теорема Абеля в задачах и решениях

[dimka21]

Определение 1.
Пусть $a$ - элемент некоторой группы $G$. Наименьшее натуральное число $n : a^{n} = e$, называются порядком элемента $a$.
Если такого $n$ не существует, то говорят, что $a$ - элемент бесконечного порядка.
Определение 2.
Если элемент $a$ имеет порядок $n$ и кроме элементов $e, a, a^{2}, ..., a^{n-1} $ в группе $G$ больше нет элементов, то $G$ - циклическая группа порядка $n$, порождённая элементом $a$, а элемент $a$ называется образующим этой группы.

Пример. Пусть на плоскости дан правильный $n-$угольник. Рассмотрим все вращения плоскости (без переворачивания), переводящие правильный $n-$угольник в себя.
Задание 31. Доказать, что эти вращения образуют циклическую группу порядка $n$.

Ответ в учебнике: $2\pi/n$ - образующий элемент.
Вопрос 1. Мы можем взять квадрат и вращение на $180^\circ$. Тогда углов будет $4$, а порядок $n=2$. Где я тут ошибаюсь? Или кол-во углов не обязательно должно равняться порядку группы?

Также в задание 32 просят найти все образующие элементы в группах вращений треугольника и квадрата.

Пример 3. Пусть $e, a, b, c$ обозначают соответственно вращения квадрата на $0^\circ$, на $180^\circ$, на $90^\circ$и на $270^\circ$в
направлении, указанном стрелкой.

Ответ в учебнике: В группе вращений треугольника образующие: $a$—вращение на $120^\circ$и
$b$ — вращение на $240^\circ$ в группе вращений квадрата: $b$— вращение на $90^\circ$и $c$— вращение на $270^\circ$.

Вопрос 2. Почему в группе вращений квадрата нету вращения на $180^\circ$?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Наберите все обозначения одинаковым образом (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), а то в имеющемся виде это читать неудобно.

Заодно разберитесь с градусами. Это делается примерно так: 180^\circ (но в долларах, как формула).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Connector]

dimka21 в сообщении #1450561 писал(а):

Мы можем взять квадрат и вращение на $180^\circ$. Тогда углов будет $4$, а порядок $n=2$. Где я тут ошибаюсь?

По-моему Вы не ошибаетесь, так и есть: циклическая группа, порождённая вращением на $180^\circ$ будет состоять из двух элементов: вращения на $90^\circ$ и на $270^\circ$ не являются степенями образующего элемента.
Существует общая теорема, позволяющая определить, какие степени элемента $a$ могут быть взяты как образующие элементы циклической группы.

dimka21 в сообщении #1450561 писал(а):

Почему в группе вращений квадрата нету вращения на $180^\circ$?

В группе всех вращений плоскости, переводящих квадрат в себя — есть, просто не является образующим элементом этой группы.
Ещё можно рассмотреть группу, порождённую вращением на $0^\circ$, она вообще одноэлементная.

[nnosipov]

dimka21 в сообщении #1450561 писал(а):

Тогда углов будет $4$, а порядок $n=2$. Где я тут ошибаюсь?

Нигде. Просто порядок есть у каждого элемента группы, но не каждый элемент группы обязан быть образующей. У вращения на $180^\circ$ порядок действительно равен $2$; это значит, что это вращение не является образующей группы (у образующей порядок должен быть равен $4$).

[dimka21]

nnosipov в сообщении #1450623 писал(а):

(у образующей порядок должен быть равен $4$).

Я не понимаю почему порядок должен быть равен $4$.Можете сказать где это сказано в определении которое я привел?

[nnosipov]

dimka21
Это сказано в задании 31 (при $n=4$). Образующей в этом случае является поворот на $90^\circ$.

[dimka21]

nnosipov в сообщении #1450628 писал(а):

dimka21
Это сказано в задании 31 (при $n=4$). Образующей в этом случае является поворот на $90^\circ$.

В задании 31 нет определения слову образующая. Почему у правильного $n$-угольника образующей является поворот на $\frac{360^\circ}{n}$? Почему порядок образующий должен обязательно равняться $n$?

[Someone]

dimka21 в сообщении #1450626 писал(а):

Я не понимаю почему порядок должен быть равен $4$.Можете сказать где это сказано в определении которое я привел?

dimka21 в сообщении #1450561 писал(а):

Определение 2.
Если элемент $a$ имеет порядок $n$ и кроме элементов $e, a, a^{2}, ..., a^{n-1} $ в группе $G$ больше нет элементов, то $G$ - циклическая группа порядка $n$, порождённая элементом $a$, а элемент $a$ называется образующим этой группы.

[Munin]

Более точно, это определение вводит слово "образующий(ая)" в случае циклической группы.

[dimka21]

Someone, а что значит больше нет элементов?..Хотя если я правильно сейчас понял. Например, пусть $a$ является образующей и $A$ является одной из граней $4$-угольника и если мы пройдемся по каждому элементу (к исходному $4$-угольнику будем применять преобразование) группы $G$ ($e,a,a^{2}...,a^{n-1}$), то $A$ должна "пройти" каждую грань?

[Otta]

dimka21
Все элементы группы вращений квадрата перечислите, пожалуйста.

[Someone]

dimka21 в сообщении #1450648 писал(а):

а что значит больше нет элементов?

В группе вращений квадрата $4$ элемента (перечислите их, как просит Otta). Если $a$ — вращение на $180^{\circ}$, то получаются только $2$ элемента $e$ и $a$, так как $a^2=e$. Кроме этих элементов, есть ещё $2$ элемента. Поэтому элемент $a$ не является образующим группы вращений квадрата. Он не порождает всю группу.

[dimka21]

Otta

Вращение на $0^{\circ}$, $90^{\circ}$, $180^{\circ}$, $270^{\circ}$?

[kotenok gav]

Правильно. А теперь для каждого элемента напишите $e, a, a^2, a^3$. Что вы видите?