Итерационный корень из целой функции

[mihaild]

Итого у меня получается, что целая функция, из которой извлекается аналитический не целый функциональный квадратный корень, имеет вид $z^{2n}$ (а корень имеет вид $\alpha + \frac{\beta}{(z - \alpha)^n}$). Что такого особенного в одночленах четной степени, и почему корень должен быть именно в нуле, он же ничем не выделен?

DeBill в сообщении #1450044 писал(а):

Значит, по теореме Пикара она равна нулю еще в куче точек - противоречие

А какая тут в точности формулировка? $z e^z$ целая и равна нулю только в одной точке.

[Padawan]

Не понятно. А как же пример DeBill'а?

DeBill в сообщении #1450018 писал(а):

$f(f(z)) = 2z +z^2$.
Надо проверить, что $f$ - не целая. Ясно, что это - не многочлен. Тогда у нее на бесконечности - существенно особая точка.

Вы объяснили почему в сообщении #1450025. Можно обойтись и без теоремы Пикара, а обойтись более простой теоремой Сохоцкого-Вейерштрасса. Если бы $\infty$ была существенно особой точкой для $f(z)$, то можно было бы подобрать последовательность $z_k\to\infty$ такую, что $f(z_k)\to 0$. Тогда $f(f(z_k))\to f(0)=0$. А должно быть $f(f(z_k))\to\infty$, так как $f(f(z))=2z+z^2$. Противоречие.

[mihaild]

Я увы не понял этот пример (теорему Шредера не знаю и не смог быстро найти), но вроде бы получается, что если у $f$ есть существенная особенность в $z_0 \in \overline{\mathbb C}$, а $g$ не константа - то у $g\circ f$ есть существенная особенность в $z_0$.
Если это правда, то функциональный корень из мероморфной на сфере функции, если существует, тоже мероморфен на сфере. Как я понимаю, пример DeBill это опровергает, но без явной функции я не могу найти, где именно ошибка в моих рассуждениях.

[Padawan]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Koenigs_function

Wikipedia в статье Koenigs function писал(а):

Koenigs (1884) proved that there is a unique holomorphic function $h$ defined on $D$, called the Koenigs function, such that $h(0) = 0, h '(0) = 1$ and Schröder's equation is satisfied,

$$h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z).$$

The function h is the uniform limit on compacta of the normalized iterates, ${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)}
Moreover, if $f$ is univalent, so is $h$.

Возможно Вы заранее предполагаете, что $f$ должна быть всюду определенной в $\mathbb C$, кроме изолированных особых точек. Но она предполагается только заданной в маленькой окрестности нуля. Вопрос полностью локальный про поведение радиуса сходимости степенного ряда при его итерации.

[DeBill]

mihaild в сообщении #1450145 писал(а):

А какая тут в точности формулировка?

Нда, тут я маху дал: так не получается. А получается - как у Вас, или по Сохоцкому-Padawanу.

mihaild в сообщении #1450145 писал(а):

имеет вид $z^{2n}$

Видимо, тут $(z^n)^n=z^{n^2}$ ?

[mihaild]

Padawan в сообщении #1450202 писал(а):

Возможно Вы заранее предполагаете, что $f$ должна быть всюду определенной в $\mathbb C$, кроме изолированных особых точек

Да, именно так.

DeBill в сообщении #1450206 писал(а):

Видимо, тут $(z^n)^n=z^{n^2}$ ?

Ага. Я не только забыл про непродолжаемые функции, но и разучился считать степени