маятники

[KOSHLICH]

У меня есть несколько вопросов по мат-м и физ-м маятникам:
1) Почему только при отклонении мат. маятника на малый угол будут совершаться гармонические колебания.
2) Как найти (построить) зависимость между периодом и углом отклонения физ. и мат. маятников. Какой из периодов (физ. или мат. маятника) будет больше при отклонении на равный угол.

mailto: [e-mail]

[Ёжик...]

Малый угол, потому что для того чтобы получить простое решения sin(a) принимается равным (a).
Общее же решение, является решением довольно сложного дифура и выглядит как интеграл с дробью внутри. На интернете его легко найти.

[Ёжик...]

Вот формула: http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum

[LynxGAV]

Буду раскладывать...

Уточним.
Мат. маятник - точка m на конце нити длиной l в поле тяжести. Физ. маятник - твердое тело, качающееся в поле тяжести около неподвижной горизонтальной оси.
Зачем это. Да потому что перед тем, как решать, решила посмотреть на определение этих маятников. И в первой попавшейся ссылке не врубилась, где там угол, интересно? Но визуальный словарик меня успокоил.

1. Теория малых колебаний основана на разложении (не язвить ) потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка, в этом приближении уравнения движения линейны и говорят о линейных (гармонических) колебаниях. Учет последующих приближений, т.е. нелинейности (ангармоничности) обнаруживает новые подвохи.
Продемонстрируем на примере мат. маятника. (Пересечние осей координат в точке подвеса; ось абсцисс направим вправо, ординат - вниз.)
Перейдем к углу отклонения $\phi$: $x = l sin\phi$, $y = l cos\phi$; $\dot x = l\dot \phi cos\phi$, $y = - l\dot \phi sin\phi$. Кин. энергия $T = \frac{m}{2}({\dot x}^2 + {\dot y}^2) = \frac{m}{2}l^2{\dot \phi}^2$; потенц. энергия $U = - mgy = - mgl cos\phi$. Лагранжиан $ L = T - U = \frac{m}{2}l^2{\dot \phi}^2 + mgl cos\phi$ и уравнение движения $\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot\phi}\right) - \frac{\partial L}{\partial \phi} = 0\right)$ будет $\ddot \phi + \frac {g}{l}sin\phi = 0$. Без эллиптических интегралов мы приплыли..
А теперь ввиду малости $\phi$ разложим потенциальную энергию вблизи $0$. Получим $U = mgl \left(\frac{{\phi}^2}{2} - 1\right)$ и уравнение $\ddot \phi + \frac {g}{l}\phi = 0$. Бум-бурум.

2. Опять возьмем мат. маятник. Это система с одной степенью свободы, то есть ее положение вполне характеризуется одной обобщенной координатой, роль которой играет угол отклонения $\phi$. Обобщая, лагранжиан можно записать $ L = \frac {1}{2}f(q){\dot q}^2 - U(q)$, где $f(q)$ - функция обобщенной координаты $q$ (видно, что это масса только в случае, если $q$ - это декартова координата), и энергия $E = \frac {1}{2}f(q){\dot q}^2 + U(q)$. Интегрируя (удваиваем, потому что период = время туды + время сюды) найдем период $T(E) = \sqrt{2f(q)}\int_{q_1(E)}^{q_2(E)}\frac {dq}{\sqrt{E - U(q)}}$, где пределы - корни уравнения $U(q) = E$. Энергия маятника $E = T + U = \frac{m}{2}l^2{\dot \phi}^2 - mgl cos\phi$ или же, введя максимальный угол отклонения от вертикали $\phi_0$ (период - время от нуля до этого $\phi_0$, помноженное на 4), $E = - mgl cos\phi_0$. Теперь вычисляем $T = 2 \sqrt{\frac {2l}{g}}\int_{0}^{\phi_0}\frac {d\phi}{\sqrt{cos\phi - cos\phi_0}}$. Подчухаем $T = 2 \sqrt{\frac {l}{g}}\int_{0}^{\phi_0}\frac {d\phi}{\sqrt{{sin}^2\frac {\phi_0}{2} - {sin}^2\frac {\phi_}{2}}}$ и введем подстановку $sin{\gamma}sin\frac{\phi_0}{2} = sin\frac{\phi_}{2}$. Итого, притопали откуда ускакали $T = 4 \sqrt{\frac {l}{g}}K\left(sin\frac {\phi_0}{2}\right) c полным эллиптическим интегралом первого рода $K(k) = \int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\frac {d\gamma}{\sqrt {1 - k^2sin^{2}\gamma}}$. Для малых колебаний $sin\frac {\phi_0}{2}\simeq \frac{\phi_0}{2}$, который много меньше единицы и разлагая функцию $K(k)$ получаем $T = 2\pi\sqrt {\frac{l}{g}}\left(1 + \frac {1}{16}{\phi_0}^2 + {\rm O}[\phi^4]\right)$. Главный член и OБзывают в народe периодом .
Для физического маятника. Обозначим через $l$ - расстояние от центра инерции маятника до оси вращения; $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - углы между направлениями его главных осей инерции и осью вращения; $\phi$ - угол между вертикалью и перпендикуляром из центра инерции на ось вращения. Скорость центра инерции $V = l\dot \phi$, проекции угловой скорости на главные оси инерции ${\dot \phi}cos\alpha$, ${\dot \phi}cos\beta$, ${\dot \phi}cos\gamma$. Лагранжиан $ L = T - U = \frac{m}{2}l^2{\dot \phi}^2 + \frac {1}{2}\left(I_1cos^{2}\alpha + I_2cos^{2}\beta + I_3cos^{2}\gamma\right) - mgl (1- cos\phi)$. Для малых углов $U \simeq \frac{1}{2}mgl{\phi}^2$ и для периода сразу имеем $ T = 2\pi \sqrt {ml^2 + I_1cos^{2}\alpha + I_2cos^{2}\beta + I_3cos^{2}\gamma}\left({\sqrt {mgl}}\right)^{-1}$. Далее по накатанной схеме (период в зависимости от полной энергии).

Вот тут на простом уровне без никаких углов. (На самом деле это не очень простая задача теор. механики.) Введите сочетание "физический маятник" (что я для себя уточняла) в rambler, выдает кучу ссылок на какие-то рефераты. Информация по эллиптическим функциям есть в библиотеке. Мне кажется, что сейсмографы (или какие-то другие штуки) как раз на всем этом деле основаны, так что ни для кого такие вопросы не должны быть секретом.
Еще. Я тут чуток дообозначалась. Думаю, понятно, где имеется ввиду кинетическая энергия, а где период.
А насчет майлту. Решение нАдом оплачивается. Шутка .

[LynxGAV]

Ёжику или Ёжонку

Ух ты...
Ни хрена вообще считать не надо. Зачем вообще думать. Но до 1\16 они все-таки не добрались . И как все-таки примитивно! Лагранжиан они не вводят.
Пол часа впустую. Нен......
Думаю, стоит с rambler´a переехать на википедию .

[Вася]

LynxGAV супер,А если еще ввести малые колебания подставки на которой висит маятник получиться нелинейная задача Капицы.Ради бога ни куда не переезжайте без вас форум потеряет для меня смысл,жаль не могу писать длинные топы.ах время время...

[LynxGAV]

Вася писал(а):

LynxGAV супер,А если еще ввести малые колебания подставки на которой висит маятник получиться нелинейная задача Капицы.Ради бога ни куда не переезжайте без вас форум потеряет для меня смысл,жаль не могу писать длинные топы.ах время время...

Василий, Вы не объективны.

У Капицы было много интересных задач. Какую именно Вы имели ввиду? Помните "С какой скоростью должна шлёпать утка по воде, чтобы не утопиться?" ?

Можно решить, если точка подвеса движется по прямой по заданному закону (гарм. кол.) или движется по окружности. Это все системы с одной степенью свободы, потому что налагаются связи. Написать функцию Лагранжа и уравнение движения труда не составит.

PS Нашла список задач Капицы. Приятно, что почти угадала мысли такого великого дядьки .

[LynxGAV]

Цитата:

"Прежде чем начать лекцию, я хочу сказать несколько слов о тех задачах, которые вы получили и которые я для вас составил. Как их можно решать? Задача - есть первое приближение к небольшой научной работе. Решение этих задач - уже какое-то определенное [исследование]. Не то, что в средней школе, где достаточно подставить в формулу известные данные и т.д. Здесь решение задачи определяется вами самими. Вы можете показать [при решении задачи] свои знания и [свое] понимание физики в самых разных степенях... Это зависит от вас самих, где остановиться при решении задачи. Это зависит и от глубины анализа, который вы сами даете. Все задачи составлены так, что вы их можете и в двух-трех словах приблизительно решить и, углубляясь дальше, до неограниченного предела. Одну и ту же задачу можно, продолжая ее разбор, разложить в ряды Фурье, интегрировать и т.д., и довести до [уровня] кандидатской диссертации..."

ИнтереснА.

Направим ось $x$ вправо, $y$ - вниз. Обозначим точку подвеса на оси абсцисс $x_1$ c законом $x_1 = C \cos \delta t$. Длина нити $l$, угол отклонения $\phi$, координаты $m$ $(x, y)$.
Уравнения связи: $z = 0$, $(x - x_1)^2 + y^2 = l^2$. Степеней свободы $3 - 2 = 1$. Координаты $x = C \cos \delta t + l \sin \phi$, $y = l \cos \phi$; первые производные $\dot x = - C \delta \sin \delta t + l \dot \phi \cos \phi$, $\dot y = - l \dot \phi \sin \phi$. Кин. энергия $T = \frac {m}{2} \left( C^2 {\delta}^{2}\sin^{2} \delta t + l^2 {\dot \phi}^2 - 2C \delta l \dot \phi \sin \delta t \cos \phi \right)$, пот. $U = - mgl\cos \phi$. Лагранжиан $L = \frac {m}{2} \left( C^2 {\delta}^{2}\sin^{2} \delta t + l^2 {\dot \phi}^2 - 2C \delta l \dot \phi \sin \delta t \cos \phi \right) + mgl\cos \phi$.
Хмм..мм. По "теоремам" функция лагранжа определена с точностью до слагаемых, имеющих вид полной производной по времени от некоторой функции координат и времени $L = L' + \frac {d}{dt} \left(f(q,t)\right)$. Если $f(t) = \int \frac {d}{dt} \left(f(t)\right)dt$ явная функция только координат, то можно выбросить. Еще $\dot \phi \sin \delta t \cos \phi = \frac {d}{dt} \left(\sin \phi \sin \delta t \right) - \delta \sin {\phi} \cos \delta t$, поэтому $L = \frac {m}{2} \left(l^2 {\dot \phi}^2 + 2C {\delta}^{2} l \sin \phi \cos \delta t\right) + mgl\cos \phi$. И так далее. До кандидатской недалеко. Ха-ха. Да. Завтра иду получать.

[КАЗАКОВ]

В "Мат.методах классической механики" Арнольда отлично излагается.

[Ладочка]

Кто может подсказать, где можно найти свободные продольные колебания стержней? задачи по этой теме!

[KOSHLICH]

Ладочка писал(а):

Кто может подсказать, где можно найти свободные продольные колебания стержней? задачи по этой теме!

Можешь поискать здесь:
http://irodov.nm.ru/cgi-bin/ikonboard/topic.cgi?forum=2&topic=118

Или здесь:
http://www.poiskknig.ru

[Ладочка]

Спасибо! Но к сожалению, там только обычные задачи по физике! А мне надо задачу для курсовой решить! О там не стандартные задачи! Просто кучу книг перерыли, а таких задач не нашли!

[LynxGAV]

Не там искали. Смотрите в книгах по мат. физике. Начните с добрых Тихонова и Самарского "Уравнения математической физики".