Буду раскладывать...
Уточним.
Мат. маятник - точка m на конце нити длиной l в поле тяжести. Физ. маятник - твердое тело, качающееся в поле тяжести около неподвижной горизонтальной оси.
Зачем это. Да потому что перед тем, как решать, решила посмотреть на определение этих маятников. И в первой попавшейся
ссылке не врубилась, где там угол, интересно? Но
визуальный словарик меня успокоил.
1. Теория малых колебаний основана на разложении (не язвить
) потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка, в этом приближении уравнения движения линейны и говорят о линейных (гармонических) колебаниях. Учет последующих приближений, т.е. нелинейности (ангармоничности) обнаруживает новые подвохи.
Продемонстрируем на примере мат. маятника. (Пересечние осей координат в точке подвеса; ось абсцисс направим вправо, ординат - вниз.)
Перейдем к углу отклонения
:
,
;
,
. Кин. энергия
; потенц. энергия
. Лагранжиан
и уравнение движения
будет
. Без эллиптических интегралов мы приплыли..
А теперь ввиду малости
разложим потенциальную энергию вблизи
. Получим
и уравнение
. Бум-бурум.
2. Опять возьмем мат. маятник. Это система с одной степенью свободы, то есть ее положение вполне характеризуется одной обобщенной координатой, роль которой играет угол отклонения
. Обобщая, лагранжиан можно записать
, где
- функция обобщенной координаты
(видно, что это масса только в случае, если
- это декартова координата), и энергия
. Интегрируя (удваиваем, потому что период = время туды + время сюды) найдем период
, где пределы - корни уравнения
. Энергия маятника
или же, введя максимальный угол отклонения от вертикали
(период - время от нуля до этого
, помноженное на 4),
. Теперь вычисляем
. Подчухаем
и введем подстановку
. Итого, притопали откуда ускакали
c полным эллиптическим интегралом первого рода
. Для малых колебаний
, который много меньше единицы и разлагая функцию
получаем
. Главный член и OБзывают в народe периодом
.
Для физического маятника. Обозначим через
- расстояние от центра инерции маятника до оси вращения;
,
,
- углы между направлениями его главных осей инерции и осью вращения;
- угол между вертикалью и перпендикуляром из центра инерции на ось вращения. Скорость центра инерции
, проекции угловой скорости на главные оси инерции
,
,
. Лагранжиан
. Для малых углов
и для периода сразу имеем
. Далее по накатанной схеме (период в зависимости от полной энергии).
Вот
тут на простом уровне без никаких углов. (На самом деле это не очень простая задача теор. механики.) Введите сочетание "физический маятник" (что я для себя уточняла) в rambler, выдает кучу ссылок на какие-то рефераты. Информация по эллиптическим функциям есть в
библиотеке. Мне кажется, что сейсмографы (или какие-то другие штуки) как раз на всем этом деле основаны, так что ни для кого такие вопросы не должны быть секретом.
Еще. Я тут чуток дообозначалась. Думаю, понятно, где имеется ввиду кинетическая энергия, а где период.
А насчет майлту. Решение нАдом оплачивается. Шутка
.