Сопряженный оператор, Лаплас и обратный Лаплас

[*DashkA*]

Найти сопряженный оператор к

$L=\Delta-\Delta^{-1}, $

с областью определения

$\{v({ x,y,z})\in L_2(V)\; :\; v|_{z=a}=v|_{z=-a}=0 ,\; v|_{x=a}=v|_{x=-a} ,\; v|_{y=a}=v|_{y=-a} \}$

$V$ - куб со стороной размера $2a$. Что-то я торможу

[ewert]

ну, он же и будет, только по иксам и игрекам будет по три граничных условия:

$v'|_{a}=v'|_{-a},$
$v|_{a}=0,$
$v|_{-a}=0.$

[zoo]

*DashkA* писал(а):

Найти сопряженный оператор к

$L=\Delta-\Delta^{-1}, $

с областью определения

$\{v({ x,y,z})\in L_2(V)\; :\; v|_{z=a}=v|_{z=-a}=0 ,\; v|_{x=a}=v|_{x=-a} ,\; v|_{y=a}=v|_{y=-a} \}$

$V$ - куб со стороной размера $2a$. Что-то я торможу

раскладывайте $v$ в соответствующий гран. условиям ряд Фурье по тригонометрическим функциям. Сразу будет видно как $\Delta$ действует и как $\Delta^{-1}$ и $L^*$ получаются.
Хотя не очень понятно, что это за равенства на множестве меры нуль у Вас для функции из $L^2$ выписаны. Обратите на это внимание уточните условие

[*DashkA*]

ewert
Спасибо, но не совсем поняла как у Вас это получилось, ведь
$ (\Delta f,g) = & \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a}\Delta f g dxdydz =\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \bigg (\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}g + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}g+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}g\bigg) dxdydz =\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( \frac{\partial f}{\partial x}g\big) \big |_{x=-a}^{x=a} dydz + \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( \frac{\partial f}{\partial y}g\big) \big |_{y=-a}^{y=a}dxdz + \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( \frac{\partial f}{\partial z}g\big) \big |_{z=-a}^{z=a}dxdy - \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( f\frac{\partial g}{\partial x}\big) \big |_{x=-a}^{x=a} dydz - \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( f\frac{\partial g}{\partial y}\big) \big |_{y=-a}^{y=a}dxdz - \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( f\frac{\partial g}{\partial z}\big) \big |_{z=-a}^{z=a}dxdy +\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \bigg (f\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + f\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}+f\frac{\partial^2 g}{\partial z^2}\bigg) dxdydz= \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( \frac{\partial f}{\partial x}g\big) \big |_{x=-a}^{x=a} dydz + \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( \frac{\partial f}{\partial y}g\big) \big |_{y=-a}^{y=a}dxdz + \int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-a}^{a} \big( \frac{\partial f}{\partial z}g\big) \big |_{z=-a}^{z=a}dxdy + (f,\Delta g) $
Поэтому вроде только условия периодичности будут
$ g|_{x=a}=g|_{x=-a}, \quad g|_{y=a}=g|_{y=-a}, \quad g|_{z=a}=g|_{z=-a} $

Но ума не приложу как быть с обратным оператором

Добавлено спустя 4 минуты 22 секунды:

zoo
Спасибо. Равенства, это я просто так граничные условия записала, периодичность по $x$ и $y$, нулевые по $z$

[zoo]

*DashkA* в сообщении #144775 писал(а):

Спасибо. Равенства, это я просто так граничные условия записала, периодичность по $x$ и $y$, нулевые по $z$

Вы по-прежнему не понимаете

[*DashkA*]

zoo
Не понимаю какое множество меры нуль. У меня оператор так задан, область определения все функции из $ L_2$, с условием что значения функций равны в точках $x=\pm a$ и $y=\pm a$ (боковые поверхности куба) , и равны нулю при $z=\pm a$ (нижняя и верхняя поверхность). Такие условия часто встречаются в краевых задачах. В трехмерном случае это боковая поверхность куба, не меры нуль.

[zoo]

*DashkA* в сообщении #144787 писал(а):

Такие условия часто встречаются в краевых задачах.

спасибо, просветили

*DashkA* в сообщении #144787 писал(а):

В трехмерном случае это боковая поверхность куба, не меры нуль.

Вам, девушка, надо не спорить, а слушать и спрашивать

[*DashkA*]

zoo
Разрешите тогда спросить, что вы имеете ввиду с этими условиями на множестве меры нуль?

[zoo]

*DashkA* писал(а):

zoo
Разрешите тогда спросить, что вы имеете ввиду с этими условиями на множестве меры нуль?

Я имею ввиду, что грани куба, как и любые другие двумерные многообразия в $\mathbb{R}^3$ имеют меру нуль. А функции из $L^2$ определены с точностью до множеств меры нуль, поэтому Ваши условия вообще не имеют смысла. Т.е. $L^2$ не может, как Вы пишите, быть областью определения Вашей задачи. Обычно такие операторы определяют в $H^1$, либо на множестве гладких функций плотном в $L^2$.

[Really]

*DashkA* в сообщении #144787 писал(а):

В трехмерном случае это боковая поверхность куба, не меры нуль.

Как раз меры нуль.

[*DashkA*]

zoo
Really
Вы правы. Спасибо . А у меня вот такая идея с обратным оператором,через функцию Грина

$ (\Delta^{-1}f,g) =\int\limits_{V}\Delta^{-1}f(s)g(s)ds = \int \limits_{V} \int\limits_{V}G(s,s')f(s')ds'g(s)ds = \int\limits_{V}f(s')\int\limits_{V}G(s,s')g(s)dsds' = \int\limits_{V}f(s')\Delta^{-1}g(s') ds'= (f,\Delta^{-1}g)$

тут я хоть права?

[zoo]

*DashkA* писал(а):

zoo
Really
Вы правы. Спасибо . А у меня вот такая идея с обратным оператором,через функцию Грина

$ (\Delta^{-1}f,g) =\int\limits_{V}\Delta^{-1}f(s)g(s)ds = \int \limits_{V} \int\limits_{V}G(s,s')f(s')ds'g(s)ds = \int\limits_{V}f(s')\int\limits_{V}G(s,s')g(s)dsds' = \int\limits_{V}f(s')\Delta^{-1}g(s') ds'= (f,\Delta^{-1}g)$

тут я хоть права?

это похоже на правду, но надо сперва посмотреть на функцию Грина

[*DashkA*]

zoo
Не нашла я функцию Грина Может проще все, раз существует обратный и область определения оператора плотно в $ L^2$, то $(\Delta^{-1})^* = (\Delta^*)^{-1} = (\Delta)^{-1}$. Может так?

[nckg]

На мой взгляд самосопряжённость оператора $\Delta^{-1}$ можно проверить по определению, нужно использовать тождество $u=\Delta \Delta^{-1} u$ и вторую формулу Грина.

Равенство $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$ выполняется в банаховых пространствах (если область определения оператора $A$ всюду плотна), его тоже можно использовать.

[ewert]

Обратный к лапласиану не симметричен, т.к. не симметричен сам лапласиан (недостаточно граничных условий).