Фундаментальная матрица

[gustav]

Есть система диф. уравнений:
x1(штрих) = x2
x2(штрих) = -x1
Нужно найти фундаментальную матрицу, у меня получилось, что ее размерность равна 2x3, но такого ведь быть не может? Подскажите, пожалуйста!

[Brukvalub]

А что такое фундаментальная матрица?

[gustav]

Это матрица базисных решений однородной системы, причем при t равном нулю матрица является единичной(t - это от чего зависит искомая функция)

[Nikita.bsu]

Продеффиринцируем первое уравнение по $t$ подставим из воторого $\[\dot x_2 \]$ и прийдем к линейному д.у.:
$\[\ddot x_1 + x_1 = 0\]$.
и т.д.
А потом при $t=0$ приравнимваем матрицу единичной и находим произвольные постоянные и матрицу.

[Бодигрим]

gustav в сообщении #144608 писал(а):

Нужно найти фундаментальную матрицу, у меня получилось, что ее размерность равна 2x3, но такого ведь быть не может?

Рассказывайте, как вы ее ищете?

[Профессор Снэйп]

Может, имелось в виду что-то вроде

$$ \frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ -x_1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) ? $$

Ну и типа

$$ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) $$

есть та самая "фундаментальная матрица"?

Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды:

Предположил так, потому что не понимаю, что такое "матрица базисных решений однородной системы".

[ewert]

gustav писал(а):

Это матрица базисных решений однородной системы, причем при t равном нулю матрица является единичной(t - это от чего зависит искомая функция)

Канонический способ решения: ищете собственные числа $\lambda_{1,2}$ матрицы $A$, выписанной Профессором (это будут $\pm i$). И соотв. собственные векторы $\vec b_{1,2}$. Тогда фундаментальная матрица (да, так она официально и называется) $U(t)=e^{At}=Be^{Dt}B^{-1}$, где $B$ -- матрица собственных столбцов и $D$ -- диагональная матрица с собственными числами на диагонали.

[gustav]

Nikita.bsu в сообщении #144619 писал(а):

А потом при приравнимваем матрицу единичной и находим произвольные постоянные и матрицу.

А как это делается?

[zoo]

ewert писал(а):

gustav писал(а):

Это матрица базисных решений однородной системы, причем при t равном нулю матрица является единичной(t - это от чего зависит искомая функция)

Канонический способ решения: ищете собственные числа $\lambda_{1,2}$ матрицы $A$, выписанной Профессором (это будут $\pm i$). И соотв. собственные векторы $\vec b_{1,2}$. Тогда фундаментальная матрица (да, так она официально и называется) $U(t)=e^{At}=Be^{Dt}B^{-1}$, где $B$ -- матрица собственных столбцов и $D$ -- диагональная матрица с собственными числами на диагонали.

едрена мать

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #144675 писал(а):

Предположил так, потому что не понимаю, что такое "матрица базисных решений однородной системы".

Пусть есть однородная система линейных дифференциальных уравнений

$$\frac{d\vec x}{dt}=A(t)\vec x\text{,}$$

где $\vec x$ - вектор-столбец из $n$ функций, $A(t)$ - матрица размера $n\times n$, вообще говоря, зависящая от $t$ (элементы матрицы предполагаем непрерывными функциями).
Пусть $\vec x_1(t),\vec x_2(t),\ldots,\vec x_n(t)$ - фундаментальная система решений нашего уравнения (то есть, эти столбцы линейно независимы). Тогда матрица, составленная из этих столбцов, и называется фундаментальной матрицей (gustav ещё хочет, чтобы при $t=0$ эта матрица была единичной, но это легко сделать, выбирая соответствующие начальные условия при нахождении $\vec x_1(t),\vec x_2(t),\ldots,\vec x_n(t)$).

[ewert]

Если в начальный момент матрица единична, то это -- частный случай фундаментальной матрицы, которая называется разрешающей. Поскольку позволяет восстановить любое решение по его начальным условиям: $\vec x(t)=U(t)\cdot\vec x(0)$. По произвольной фундаментальной матрице $Y(t)$ разрешающая матрица находится как $U(t)=Y(t)\cdot Y^{-1}(0)$. Более общая конструкция: $U(t,s)=Y(t)\cdot Y^{-1}(s)$ -- разрешающая матрица для случая, когда начальной считается точка $s$.