2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение24.03.2020, 08:25 
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Задача с той же https://iuhd.edu.tm/competition/7 олимпиады.

Вычислить $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{\prod\limits_{k=2}^n\sqrt[k]{k!}}}{\sqrt[n+1]{(2n+1)!!}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение24.03.2020, 14:04 


11/07/16
670
Асимптотика знаменателя такова $\frac {2n+1} {2e}$. Она следует из формулы для двойного факториала нечетного натурального аргумента в разделе Complex arguments статьи Вики. Числитель, по моим прикидкам, по порядку величины примерно равен $\frac n {e^2}$. Более точная оценка пока не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение24.03.2020, 17:00 
Заслуженный участник


20/12/10
6944
$\dfrac{1}{2e}$

 Профиль  
                  
 
 Re: IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение28.03.2020, 12:05 
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Markiyan Hirnyk в сообщении #1446793 писал(а):
Асимптотика знаменателя такова $\frac {2n+1} {2e}$. Она следует из формулы для двойного факториала нечетного натурального аргумента в разделе Complex arguments статьи Вики. Числитель, по моим прикидкам, по порядку величины примерно равен $\frac n {e^2}$. Более точная оценка пока не получается.

У меня асимптотика знаменателя получилась $\frac{2(n+1)}e$.

 Профиль  
                  
 
 Re: IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение28.03.2020, 12:27 
Заслуженный участник


20/12/10
6944
А у меня логарифм знаменателя оценивается как $\ln{n}+\ln{2}-1+O(\ln{n}/n)$, а логарифм числителя --- как $\ln{n}-2+O(\ln^2{n}/n)$. Такие оценки для остаточных членов получить нетрудно, достаточно знаний первокурсника (если, конечно, я правильно представляю теперешних первокурсников).

 Профиль  
                  
 
 Re: IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение28.03.2020, 12:54 
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Цитата:
достаточно знаний первокурсника (если, конечно, я правильно представляю теперешних первокурсников).

В принципе достаточно. Нужно лишь знать формулу Стирлинга и тот факт, что предел среднего геометрического первых $n$ членов сходящейся положительной последовательности равен её пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение28.03.2020, 13:25 
Заслуженный участник


20/12/10
6944
Alexander Evnin в сообщении #1447863 писал(а):
Нужно лишь знать формулу Стирлинга и тот факт, что предел среднего геометрического первых $n$ членов сходящейся положительной последовательности равен её пределу.
Формула Стирлинга --- это всего лишь оценка суммы логарифмов, которую заменяешь интегралом и грубо оцениваешь остаток (пользуясь, например, выпуклостью функции логарифм). Единственное, что здесь может понадобится как внешний факт --- это оценка $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=O(\ln{n}),$$ (но и она получается из тех же базовых соображений). Так что формулу Стирлинга здесь можно и не знать (и, тем не менее, мимоходом ее получить). Тем более, на этом пути далее приходится оценивать сумму квадратов логарифмов, что технически чуть-чуть сложнее, но принципиально есть такая же мелочь, как и формула Стирлинга (с грубой оценкой остаточного члена, конечно; более точные оценки требуют бОльших усилий).

В общем, что может быть естественней, чем заменить сумму интегралом --- вот такая простая мысль.

Кстати, по поводу предела среднего геометрического. Для среднего арифметического такая задача, если правильно помню, была в учебнике Колмогорова для школьников (в мои годы). Помню, что решил ее далеко не сразу (а может, и вообще не решил). Как-то она не кажется совсем уж очевидной; скорее, даже нестандартной. (Впрочем, тут кто как привык, вкусовщина may be detected.)

Upd. Выше я слегка приукрасил, на самом деле нужна еще такая (более хитрая) оценка для гармонических чисел: $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln{n}+\gamma+O\left(\frac{1}{n}\right), \quad n \to \infty.$$ Но, в любом случае, это все небесполезно для освоения общих методов (если отложить в сторону спортивную составляющую).

 Профиль  
                  
 
 Re: IUHD 3rd Open Olympiad: интересный предел
Сообщение28.03.2020, 13:48 
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
На самом деле здесь достаточно соотношения $\sqrt[n]{n!}=\alpha_n\frac{n}{e}$, где $\alpha_n\to1$ при $n\to\infty$,
плюс указанный факт про предел среднего, который, согласен, доказывается не так уж просто
(в Демидовиче это задачи 139 и 140).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group