Диаграммная техника. Выражение для диаграммы второго порядка

[neverfoldAA]

Никак не могу разобраться, каким образом рассчитываются диаграммы выше первого порядка. Например я хочу написать выражение, соответствующее следующей диаграмме:


С петлей все понятно:

$$G^{(2)}\sim G(\textbf{p})G(\textbf{p})U(0)n\int G(\textbf{q})G(\textbf{q})U(\textbf{p-q})d^4\textbf{q}$$

$$\textbf{q}=(q,\omega_q)$$

Остается вот такой интеграл:

$$\int \left( \frac{\theta (\left\lvert p \right\rvert-\left\lvert p_f \right\rvert)}{\omega_q-\varepsilon(q)+i\delta}+\frac{\theta (\left\lvert p_f \right\rvert-\left\lvert p \right\rvert)}{\omega_q-\varepsilon(q)-i\delta}\right)\left( \frac{\theta (\left\lvert p \right\rvert-\left\lvert p_f \right\rvert)}{\omega_q-\varepsilon(q)+i\delta}+\frac{\theta (\left\lvert p_f \right\rvert-\left\lvert p \right\rvert)}{\omega_q-\varepsilon(q)-i\delta}\right)U(p-q)d^3qd\omega_q$$

Видимо, я должен сначала проинтегрировать по частоте. В диаграммах первого порядка при интегрировании свободной функций грина по частоте всегда есть множитель $e^{i\omega\delta}$, а что делать в этом случае?

[Munin]

Почему у вас в одной петле импульс, а в другой частота?

[neverfoldAA]

Под петлей я понимаю замкнутую сплошную линию на диаграмме, она там всего одна. Вообщем, не уверен, что понял, что вы имеете в виду, но переписал формулы более аккуратно.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- оформите ссылку на картинку нормально (причем не на "всплывающую" картинку на хостинге, а непосредственно на файл изображения), заодно имеет смысл уменьшить картинку до 800px по ширине, чтобы она отображалась непосредственно в сообщении.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Gickle]

neverfoldAA
С твердотельной диаграмматикой я дел давно не имел, но вроде выражение похоже на правду. Только, очевидно, в ступеньках должно быть $|\mathbf{q}|$ вместо $|\mathbf{p}|$. То есть в более привычных мне обозначениях

$$\int_{\mathbf{q},\omega} \left( \frac{\theta (\left\lvert \mathbf{q} \right\rvert - k_{\mathrm{F}})}{\omega - \varepsilon(\mathbf{q}) + i 0^{+}} + \frac{\theta(k_{\mathrm{F}} - \left\lvert \mathbf{q} \right\rvert)}{\omega - \varepsilon(\mathbf{q}) - i 0^{+}}\right)^2 U(\mathbf{p} -\mathbf{q},p_0 - \omega).$$

Ну и надо просто аккуратно считать теперь, по-моему: переходить к сферическим координатам и т.п. Не факт, что можно будет получить аналитический результат без приближений.

Основных соображения два. Во-первых, понятно, что из четырёх слагаемых "выживут" только два. Во-вторых, не знаю уж, что в вашей диаграмматике означает $U$ (голый ли Кулон или что-то "более одетое"), но штука эта падает с ростом $\mathbf{p} - \mathbf{q}$, так что основной вклад даст кусок $\mathbf{q} \sim \mathbf{p}$ скорее всего. Ну и дальше уже вопрос будет, какие значения $|\mathbf{p}|/k_{\mathrm{F}}$ Вас интересуют, отчего и будут зависеть соответствующие приближения.

P.S. А в старых книгах типа АГД, ЛЛ-9 или Маттуке подобных вычислений нет? Раньше любили такое дело, по-моему. Ну или в каком-нибудь задачнике типа Левитова-Шитова?