2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутативное кольцо
Сообщение24.03.2020, 08:08 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Задача со вчерашней туркменской олимпиады.

Let $R$ be ring such that for each a^3 = 0 $ follows $a= 0$. Let for each $x$ and $y$ elements of ring
$(xy)^2 = x^2y^2$. Prove that $R$ is commutative ring.

Я раскрыл скобки в выражении $(xy-yx)^3$. Четыре слагаемых ушли, но четыре остались. Подозреваю, что решение должно быть коротким...

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативное кольцо
Сообщение24.03.2020, 08:43 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Да оно и правда недлинное ...

(Указание)

Запишите основное тождество для $x$ и $y'=x+y$. Не приводит ли это к новому однородному тождеству, степени $4$, от $x$ и $y$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативное кольцо
Сообщение24.03.2020, 12:24 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Да, следуя Вашей подсказке, выводим, что $xyx^2=x^2yx$. Теперь и оставшиеся слагаемые взаимно уничтожаются.

Спасибо! Задача решена. Но большого удовольствия не получил!:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: waxtep


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group