Коммутативное кольцо

[Alexander Evnin]

Задача со вчерашней туркменской олимпиады.

Let $R$ be ring such that for each a^3 = 0 $ follows $a= 0$. Let for each $x$ and $y$ elements of ring
$(xy)^2 = x^2y^2$. Prove that $R$ is commutative ring.

Я раскрыл скобки в выражении $(xy-yx)^3$. Четыре слагаемых ушли, но четыре остались. Подозреваю, что решение должно быть коротким...

[vpb]

Да оно и правда недлинное ...

(Указание)

Запишите основное тождество для $x$ и $y'=x+y$. Не приводит ли это к новому однородному тождеству, степени $4$, от $x$ и $y$ ?

[Alexander Evnin]

Да, следуя Вашей подсказке, выводим, что $xyx^2=x^2yx$. Теперь и оставшиеся слагаемые взаимно уничтожаются.

Спасибо! Задача решена. Но большого удовольствия не получил!:)