Заряженная частица и плоский проводник

[profilescit]

Заряженная частица массы $m$ и заряда $q$ изначально находится в поле тяжести земли на высоте $h$ над плоским и достаточно большим проводником. Найти время до столкновения с проводником.

Используя метод изображений, можем представить что две одинаковые частица заряда $+q$ и $-q$ находятся на расстоянии $2h$ и начинают притягиваться до столкновения.

Записывая второй закон Ньютона для произвольного момента времени

$ m g + \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon x^2} = m a$

где $x$ - расстояние от проводника до заряженной частицы

Можно попытаться решить это дифференциальное уравнение, но хотелось бы узнать, есть ли более красивый способ?
Как можно до него дойти?

Думал провести аналогию с движением в центральном поле, будто траектория это "эллипс" с большой полу-осью $h$ и из третьего закона Кеплера вывести ответ. Не уверен в правильности моих рассуждений, а правильного ответа чтобы свериться нет.

[Munin]

Если бы не было поля тяжести, задача была бы на закон Кеплера. А так, увы, только в лоб.

[pogulyat_vyshel]

profilescit в сообщении #1446497 писал(а):

для произвольного момента времени

$ m g + \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon x^2} = m a$

если $a$ это $\ddot x$ то умножаем обе части уравнения на $\dot x$ и интегрируем, затем разделяем переменные, как раз там время и выразится через интеграл