Корректна ли формулировка задачи?

[TR63]

Задача.

$f(x)=x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-r=0$

$r=4m^2+6m-4n^2+30n-54+a>4$

$(a;n)\in N^+$

$(4m+3)=p$ (здесь $(p)$ простое)

Вопрос: существует ли $(a)$, при котором $f(x)$ можно разложить на два многочлена второй степени с ненулевыми целыми коэффициентами. Если существует, привести пример.

[gris]

У людей, постоянно решающих подобные задачи, могут быть свои умолчания, которые могут не уловить новички, набредшие на интересную задачу. Например, что значит "разложить на два многочлена"? Написать формулу с заведомо целыми коэффициентами, зависящими от $n$ и $m$? Или же найти все $a$, для каждого из которых можно указать конкретные $n$ и $m$, допускающие разложение?
Например, вопрос: для каких натуральных $a$ многочлен $x^2-n^a$ можно разложить на линейные множители с целыми коэффициентами? Для чётных $a=2k$ можно написать формулу $(x+n^k)(x-n^k)$. Но если $n=m^2$, то для любого $a$ можно написать формулу $(x+m^a)(x-m^a)$. И что отвечать?
Может быть стоит подробнее расписать условие задачи с кванторами для всех параметров? Это чисто дилетантское мнение .

[nnosipov]

gris в сообщении #1446447 писал(а):

Может быть стоит подробнее расписать условие задачи с кванторами для всех параметров? Это чисто дилетантское мнение .

Ага, все бы были такими дилетантами. (Ровно это я и пытался внушить ТС в предыдущей подобной теме.)

[TR63]

gris в сообщении #1446447 писал(а):

Написать формулу с заведомо целыми коэффициентами, зависящими от $n$ и $m$?

Формулу можно написать, если решение, т.е. хотя бы одно $(a)$, существует. Это по условию задачи, как раз, требуется выяснить. Значит такое предположение по формулировке должно отпасть автоматически?

gris в сообщении #1446447 писал(а):

Или же найти все $a$, для каждого из которых можно указать конкретные $n$ и $m$, допускающие разложение?

TR63 в сообщении #1446433 писал(а):

Задача.

$f(x)=x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-r=0$

$r=4m^2+6m-4n^2+30n-54+a>4$

$(a;n)\in N^+$

$(4m+3)=p$ (здесь $(p)$ простое)
Найти все $a$, для каждого из которых существуют $n$ и $m$, допускающие разложение $f(x)$ на два многочлена второй степени с ненулевыми целыми коэффициентами

[Munin]

TR63 в сообщении #1446453 писал(а):

Формулу можно написать, если решение, т.е. хотя бы одно $(a)$, существует.

Может быть наоборот: решение существует, а формулы написать нельзя.
Бывает так: можно написать формулу, и дальше из формулы будет следовать, существует решение или не существует.

[dmd]

Пусть $f(x)=(x^2 + A x + B) (x^2 - A x + H)$.

(Упрощаем систему оператором Результант)

In[11]:= Resultant[{B H + 4 m^2 + 6 m - 4 n^2 + 30 n - 54 + a, (-A B + A H) - 4 (4 m + 3)}, (-A^2 + B + H) + 4 n + 1, H] // Factor

Out[11]= {54 - a + B - A^2 B + B^2 - 6 m - 4 m^2 - 30 n + 4 B n + 4 n^2, 12 + A - A^3 + 2 A B + 16 m + 4 A n}

In[13]:= Resultant[54 - a + B - A^2 B + B^2 - 6 m - 4 m^2 - 30 n + 4 B n + 4 n^2, 12 + A - A^3 + 2 A B + 16 m + 4 A n, B] // Factor

Out[13]= 144 + 215 A^2 - 4 a A^2 + 2 A^4 - A^6 + 384 m - 24 A^2 m + 256 m^2 - 16 A^2 m^2 - 128 A^2 n + 8 A^4 n

Получим такое уравнение

$(A^2 - 16) (3 + 4 m)^2 + A^2 ((A^2 - (1 + 4 n))^2 - (4 n - 15)^2 + 4 a)=0$

из которого видно, что $A=p=3 + 4 m$.

И тогда после сокращения получается разность квадратов

$(8 n - 31)^2 - (2 p^2 - (1 + 8 n))^2 = 16 a$

Взяв $a$ за параметр и решая это уравнение, получаем (если нигде не ошибся), что $r>4$ скорее всего не существует

(gp-код проверки r)

tr()=
{
 for(a=1, 10^6,
  T= thue('x^2-1, 16*a);
  for(j=1, #T,
   x= T[j][1]; y= T[j][2]; 
   n= (x+31)/8;
   if(n==floor(n), if(n>0,
    p2= (y+1+8*n)/2;
    if(p2==floor(p2), if(issquare(p2),
     p= sqrtint(p2);
     if(isprime(p),
      m= (p-3)/4;
      if(m==floor(m),
       r= 4*m^2 + 6*m - 4*n^2 + 30*n - 54 + a;
       if(r>4,
        print(a"    "n"     "p"    "m"    "r)
       )
      )
     )
    ))
   ))
  )
 )
};

[TR63]

Munin в сообщении #1446463 писал(а):

Может быть наоборот: решение существует, а формулы написать нельзя

TR63 в сообщении #1446433 писал(а):

Если существует, привести пример

Если решение, т.е. $(n;m;a)$ существуют, достаточно привести пример.

-- 23.03.2020, 14:46 --

dmd, Вы на верном пути. Спасибо. (Но, может, я ошибаюсь, правда решала аналитически).

-- 23.03.2020, 14:59 --

gris, благодарю, что встряли. Исправляю неточность:

TR63 в сообщении #1446453 писал(а):

R63 в сообщении #1446433

писал(а):
Задача.

$f(x)=x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-r=0$

$r=4m^2+6m-4n^2+30n-54+a>4$

$(a;n;m)\in N^+$

$(4m+3)=p$ (здесь $(p)$ простое)
Найти все $a$, для каждого из которых существуют $n$ и $m$, допускающие разложение $f(x)$ на два многочлена второй степени с ненулевыми целыми коэффициентами

gris в сообщении #1446467 писал(а):

Вы вдруг исключили множители вида $x^2+4$

Это для простоты. Может и не надо. По ходу решения, возможно, прояснится.

[TR63]

Munin в сообщении #1446463 писал(а):

Бывает так: можно написать формулу, и дальше из формулы будет следовать, существует решение или не существует.

Очень интересное замечание. Но мне не очевидно, существует ли пример формулы, когда формула существует, но не имеет делителя на две не пустых, не пересекающихся области таких, что в одной решение существует, а в другой не существует.

Поясню на примере, что мне не очевидно.

Рассмотрим квадратное уравнение. Существует формула и существует делитель (дискриминант), делящий область решений на две не пустые, не пересекающиеся области. В одной действительные решения могут (потенциально) существовать, в другой не могут. Нужен пример формулы без подобного делителя. Т.е. вопрос в том, существует ли формула без потенциальной возможности существования решений какой-либо задачи.

[Munin]

Представьте себе уравнение с параметром, и дальше тот же дискриминант квадратного уравнения принимает вид $D=-a^2-1.$ Вот и окажется одна область, в которой решений не существует.

[TR63]

Munin в сообщении #1446791 писал(а):

Вот и окажется одна область, в которой решений не существует.

Понятно. Спасибо. Но эта область задаётся неоднозначной функцией $D=-a^2-1$. А, если рассматривать однозначные делители (области)?

[Munin]

Я не понял, почему вы назвали $D=-a^2-1$ неоднозначной функцией.

[TR63]

Munin, прошу извинить. Уточняю:

TR63 в сообщении #1446812 писал(а):

эта область задаётся функцией $D=-a^2-1$, имеющей не однозначную обратную функцию. А, если рассматривать делители (области), имеющие однозначные обратные?

[Munin]

Не вижу, при чём тут однозначность обратной. Ну давайте наш дискриминант будет зависеть от параметра как $D=-e^a-1.$ Или $D=-\arctg a-\pi.$

[TR63]

Munin в сообщении #1446962 писал(а):

Не вижу, при чём тут однозначность обратной.

Меня заинтересовало Ваше первое замечание, и захотелось узнать, существуют ли условия, при которых формулы не существует. Теперь я вижу, что следующий этап-функция должна задаваться с помощью операций сложения и умножения. Возможно, нужны ещё какие-то условия. Но я решила далее этим вопросом не интересоваться, т.к. хочу разобраться с другой задачей, являющейся обобщением исходной и для которой возможна экспериментальная проверка (возможно неограниченная).