Замечание по поводу доказательства для четвертой степени

[vlmit]

Уважаемый binki!
Вы правы, можно взять и другое число. Использование числа $e$ в примере было продиктовано эстетическими соображениями. Я хотел
обратить внимание на само действие разложения. Исходя из условия теоремы, нам надо показать, что квадрат целого числа можно разложить на два квадрата целых чисел, а куб целого числа нельзя разложить на два куба целых чисел. Попробуем показать саму операцию разложения площади на две площади и объема на два объема геометрически единым образом. В первом случае возьмем половину круга, а во втором случае возьмем половину сферы, цилиндра или конуса. Разрезая фигуры должным образом, мы выясним, что в выбранных нами отношениях двух площадей или двух объемов, в которых надо разделить площадь или объем, находятся две получившиеся дуги полуокружности. Разумеется, можно брать не полукруг, а какой-то его сектор, который будет в дальнейшем разделен. Смысл в том, чтобы от представления двух чисел в виде $\frac{x-y}{2}$ и $\frac{x+y}{2}$ перейти к другому представлению, которое будет получено с помощью спрямления дуги окружности.

[Valprim]

Уважаемый vlmit!
Конечно, надо начинать с элемнтарных утверждений. Но дуги, сферы, число пи? Связь с ВТФ? У степеней другие пространства представлений.

[vlmit]

Уважаемый Valprim!
Пришел к выводу, что с помощью построений, приведенных выше, сложно будет найти элементарное доказательство Теоремы (если вообще возможно). Так что прошу воспринимать использование дуг, сфер, и числа $\pi$ как гимнастику ума. Не знаю, что такое пространства представлений степеней в Вашем понимании, но Вы правы, что начинать надо с элементарных утверждений. Однако, ирония заключается в том, что известны не только простейшие утверждения, известен даже метод, которым Теорема была доказана.

Гарольд Эдвардс писал(а):

Метод бесконечного спуска изобрёл Ферма, и этим изобретением он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном незадолго до смерти, он подвёл итог своим открытиям в теории чисел и с полной определённостью заявил, что во всех своих доказательствах пользовался этим методом.

Поэтому не стану отказываться от предположения, послужившего причиной создания этой темы: кое-что в структуре метода бесконечного спуска до сих пор может не быть известно математикам или не быть использовано ими и стоит исследовать именно этот метод поглубже. Принцип его работы наверняка Вам известен. Ферма использовал схожий метод для доказательства существования решений.

Гарольд Эдвардс писал(а):

Несколько лет спустя, подводя в письме к Каркави итоги некоторым своим открытиям в теории чисел, Ферма указал, что англичане получили решение его задачи $Ax^2+1=y^2$ только в отдельных частных случаях и что им не удалось дать «общее доказательство». Очевидная интерпретация этого замечания заключается в том, что Ферма заметил отсутствие доказательства того, что предложенный ими процесс всегда приводит к решению; с другой стороны, в нём можно видеть и менее глубокую критику того, что этот процесс описан в недостаточно общих терминах. Ферма утверждает, что он мог бы дать нужное здесь «общее доказательство», «надлежащим образом» применяя метод бесконечного спуска.

Ферма писал(а):

Если бы выбранное простое число, которое на единицу больше некоторого числа, делящегося на 4, не было суммой квадратов, то существовало бы простое число такой же природы, меньшее заданного, а затем ещё и третье, и так далее, бесконечно убывая до тех пор, пока не будет достигнуто простое число 5,которое является наименьшим из всех чисел такой природы; отсюда следовало бы,что 5 не является суммой двух квадратов, что не соответствует действительности. Отсюда сведением к абсурду следует заключить, что все числа такой природы являются суммами двух квадратов.

Можно предполагать, что Ферма владел своим методом весьма искусно. А можно ли предположить, что только хорошее понимание работы этого метода позволит дать элементарное доказательство Теоремы? Думаю, что да. А доказательством хорошего понимания метода служит умение применять его при решении задач. Или при составлении задач.

Ферма писал(а):

Теперь арифметика имеет, так сказать, собственную область изучения — теорию целых чисел. Евклид лишь слегка затронул её в своих «Началах», а его последователи недостаточно занимались этой теорией (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых мы лишились вследствие разрушительного действия времени); следовательно, арифметикам предстоит развивать или восстанавливать её.