2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Замечание по поводу доказательства для четвертой степени
Сообщение23.12.2019, 19:14 


31/03/19
58
Уважаемый binki!
Вы правы, можно взять и другое число. Использование числа $e$ в примере было продиктовано эстетическими соображениями. Я хотел
обратить внимание на само действие разложения. Исходя из условия теоремы, нам надо показать, что квадрат целого числа можно разложить на два квадрата целых чисел, а куб целого числа нельзя разложить на два куба целых чисел. Попробуем показать саму операцию разложения площади на две площади и объема на два объема геометрически единым образом. В первом случае возьмем половину круга, а во втором случае возьмем половину сферы, цилиндра или конуса. Разрезая фигуры должным образом, мы выясним, что в выбранных нами отношениях двух площадей или двух объемов, в которых надо разделить площадь или объем, находятся две получившиеся дуги полуокружности. Разумеется, можно брать не полукруг, а какой-то его сектор, который будет в дальнейшем разделен. Смысл в том, чтобы от представления двух чисел в виде $\frac{x-y}{2}$ и $\frac{x+y}{2}$ перейти к другому представлению, которое будет получено с помощью спрямления дуги окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечание по поводу доказательства для четвертой степени
Сообщение22.03.2020, 08:43 


22/03/20
16
Уважаемый vlmit!
Конечно, надо начинать с элемнтарных утверждений. Но дуги, сферы, число пи? Связь с ВТФ? У степеней другие пространства представлений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечание по поводу доказательства для четвертой степени
Сообщение25.03.2020, 14:57 


31/03/19
58
Уважаемый Valprim!
Пришел к выводу, что с помощью построений, приведенных выше, сложно будет найти элементарное доказательство Теоремы (если вообще возможно). Так что прошу воспринимать использование дуг, сфер, и числа $\pi$ как гимнастику ума. Не знаю, что такое пространства представлений степеней в Вашем понимании, но Вы правы, что начинать надо с элементарных утверждений. Однако, ирония заключается в том, что известны не только простейшие утверждения, известен даже метод, которым Теорема была доказана.
Метод бесконечного спуска изобрёл Ферма, и этим изобретением он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном незадолго до смерти, он подвёл итог своим открытиям в теории чисел и с полной определённостью заявил, что во всех своих доказательствах пользовался этим методом.
Поэтому не стану отказываться от предположения, послужившего причиной создания этой темы: кое-что в структуре метода бесконечного спуска до сих пор может не быть известно математикам или не быть использовано ими и стоит исследовать именно этот метод поглубже. Принцип его работы наверняка Вам известен. Ферма использовал схожий метод для доказательства существования решений.
Несколько лет спустя, подводя в письме к Каркави итоги некоторым своим открытиям в теории чисел, Ферма указал, что англичане получили решение его задачи $Ax^2+1=y^2$ только в отдельных частных случаях и что им не удалось дать «общее доказательство». Очевидная интерпретация этого замечания заключается в том, что Ферма заметил отсутствие доказательства того, что предложенный ими процесс всегда приводит к решению; с другой стороны, в нём можно видеть и менее глубокую критику того, что этот процесс описан в недостаточно общих терминах. Ферма утверждает, что он мог бы дать нужное здесь «общее доказательство», «надлежащим образом» применяя метод бесконечного спуска.
Ферма писал(а):
Если бы выбранное простое число, которое на единицу больше некоторого числа, делящегося на 4, не было суммой квадратов, то существовало бы простое число такой же природы, меньшее заданного, а затем ещё и третье, и так далее, бесконечно убывая до тех пор, пока не будет достигнуто простое число 5,которое является наименьшим из всех чисел такой природы; отсюда следовало бы,что 5 не является суммой двух квадратов, что не соответствует действительности. Отсюда сведением к абсурду следует заключить, что все числа такой природы являются суммами двух квадратов.
Можно предполагать, что Ферма владел своим методом весьма искусно. А можно ли предположить, что только хорошее понимание работы этого метода позволит дать элементарное доказательство Теоремы? Думаю, что да. А доказательством хорошего понимания метода служит умение применять его при решении задач. Или при составлении задач.
Ферма писал(а):
Теперь арифметика имеет, так сказать, собственную область изучения — теорию целых чисел. Евклид лишь слегка затронул её в своих «Началах», а его последователи недостаточно занимались этой теорией (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых мы лишились вследствие разрушительного действия времени); следовательно, арифметикам предстоит развивать или восстанавливать её.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group