Интеграл от функции, заданной дискретно

[Babeuf]

Здравствуйте!

Необходимо взять интеграл:

$$\int\limits_0^{x}\frac {d {f(y)}} {d {y}}\frac{1} {\sqrt{x-y}}\, dy$ $$

при этом изветсно, что $ x>0$ и $y>0$, а сама функция $f(y)$ задана дискретно.

Никаких идей, кроме как взять и приблизить функцию полиномом, а затем решать задачу так, как будто известно аналитическое выражение для функции $f(y)$ — не придумал.

Вопрос: какие альтернативные пути решения подобной задачи, а так же где о подобных задачах можно почитать?

[thething]

Можно интегрировать сразу численно. Поскольку интеграл несобственный, то можно применить метод выделения особенности. Статья Канторовича по этому методу гуглится.

[Babeuf]

thething в сообщении #1445848 писал(а):

Можно интегрировать сразу численно. Поскольку интеграл несобственный, то можно применить метод выделения особенности. Статья Канторовича по этому методу гуглится.

Спасибо.
Но не совсем понял, что значит "сразу"?
У меня же просто известны значения функции в некоторых точках с одинаковым шагом по $y$ (таблица с зависимостью $f_i$ от $y_i$), а мне нужно от этого всего дела взять производную, чтобы начать интегрировать.

[thething]

Значения производной в узлах можно искать численно, не прибегая к интерполированию самой функции. Это должно быть в учебниках по численным методам. Правда, потом эту производную проинтерполировать всё же придётся, чтобы посчитать один из интегралов в методе выделения особенности. Второй интеграл, который будет без особенности, можно считать численно, по известным значениям в узлах.

[arseniiv]

Или можно вместо той производной внутри интеграла брать какую-то из конечных разностей (какая лучше подходит). Ну и интеграл сразу уж в исходной формулировке тоже заменить суммой.

Или по логике задачи $f$ всё-таки должна быть задана везде, а не на сетке, но мы просто знаем так мало? Потому что если она изначально всё-таки должна была быть определена лишь на сетке, то лучше взять в руки конечные разности и суммирование, чтобы результаты были вообще определены корректнее. Эх контекст-контекст…

[Babeuf]

arseniiv в сообщении #1445878 писал(а):

Или можно вместо той производной внутри интеграла брать какую-то из конечных разностей (какая лучше подходит). Ну и интеграл сразу уж в исходной формулировке тоже заменить суммой.

Или по логике задачи $f$ всё-таки должна быть задана везде, а не на сетке, но мы просто знаем так мало? Потому что если она изначально всё-таки должна была быть определена лишь на сетке, то лучше взять в руки конечные разности и суммирование, чтобы результаты были вообще определены корректнее. Эх контекст-контекст…

Функция $f$ вне сетки — не определена, и меня там не интересует.

Меня что пугает в конечных разностях: шаг с котором задана $ f $— может быть большим.

[arseniiv]

Но он же постоянный? Тогда ничего пугать не должно, и всё (в том смысле, что значения функции лучше тоже) можно даже перемасштабировать чтобы шаг был 1.

И даже когда непостоянный, есть в принципе решения.

[Babeuf]

arseniiv в сообщении #1445896 писал(а):

Но он же постоянный? Тогда ничего пугать не должно, и всё (в том смысле, что значения функции лучше тоже) можно даже перемасштабировать чтобы шаг был 1.

И даже когда непостоянный, есть в принципе решения.

Да, Вы правы.

Но проблема в том, что наверное мне численное решение не подойдёт, так как меня интересует результат интегрирования в виде функции $G(x)$, определенной как $G(x)=\int\limits_0^{x}\frac {d {f(y)}} {d {y}}\frac{1} {\sqrt{x-y}}\, dy$, чтобы потом вычислить значения функции $G$ в узлах $y_i$.

[Утундрий]

Babeuf в сообщении #1445864 писал(а):

просто известны значения функции в некоторых точках с одинаковым шагом по $y$ (таблица с зависимостью $f_i$ от $y_i$),

Можете привести несколько типичных примеров?

[arseniiv]

Babeuf в сообщении #1446147 писал(а):

Но проблема в том, что наверное мне численное решение не подойдёт

Обижаете. Теория конечных разностей, ну и суммирования, нормально разработаны, что многие результаты можно получать в виде формул, не прибегая к конкретному расчёту. За неимением лучших ссылок пока посоветую Кнута, Грэхема, Паташника «Конкретная математика», там первые главы про суммы, включая и их запись, подобную определённым интегралам, и где-то дальше есть конечные разности, хотя вроде и не всех возможных видов.

-- Вс мар 22, 2020 04:40:34 --

Простейший пример: $a_n = n^2$, тогда опережающая разность $\Delta_+ a_n := a_{n+1} - a_n = 2n + 1$, а запаздывающая разность $\Delta_- a_n := a_n - a_{n-1} = 2n - 1$; их среднее арифметическое $\Delta_0 a_n := \frac12(a_{n+1} - a_{n-1}) = 2n$, и в принципе любая аффинная (с суммой весов 1) линейная комбинация $\Delta_+$ и $\Delta_-$ в каком-то смысле так же хороша и остаётся конечно-разностным оператором первого порядка, если я правильно употребляю терминологию. Суммы: определим $\sum_M^N x_n \,\delta n := \sum_{n=M}^{N-1} x_n$, после этого например $\sum_0^N a_n \,\delta n = \frac16 N(N - 1)(2N - 1)$. При $\Delta_+$ и «определённом суммировании» хорошо себя ведут нисходящие факториальные степени $n^{\underline m} = n(n-1)\cdots(n-m+1)$ (ровно $m$ множителей): точно так же как обычные степени при взятии производной и определённого интеграла, только в результате тоже нисходящая степень. Таким способом я относительно быстро нашёл сумму выше, разложив обычную степень в сумму двух нисходящих. Это простейший пример возможных манипуляций.

-- Вс мар 22, 2020 04:48:53 --

Если что, в той книге это глава 2.6 (как минимум).

[Munin]

Если просто конечные разности не кажутся удачными, то попробуйте разные интерполяции в промежутках между точками задания функции. Сплайны там...

[Утундрий]

Прежде чем размахивать Кнутом и что-то советовать, хотелось бы увидеть запрошенное. Потому что я покамест не вижу, что мешает использовать представление

$$\int {\frac{{df}}{{\sqrt {x - y(f)} }}} $$

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1446168 писал(а):

Прежде чем размахивать Кнутом

Ну Кнут et al. там ничего страшно хитрого не сказали, в основном это пересказ уже к тому моменту наоткрытого. И у меня например с пониманием вашего интеграла не меньше проблем, чем ТС’ного. Что если $f$ неинъективная, немонотонная крокодилица? Как тогда сделать обращение непрерывным и приемлемым для всех возможных случаев? Не, я бы поставил на то, что надо сначала свою задачу понять, постаравшись избежать при этом золотого молотка («если в руках молоток, всё вокруг кажется гвоздями», в данном случае молоток — знание, что есть дифф. и интегральное исчисление функций $\mathbb R\to\mathbb R$, и знание этих исчислений в какой-то мере, а не молоток — все остальные области, которые можно приложить, и возможно успешнее). Не буду настаивать на конечных исчислениях, потому что не знаю исходную задачу, но при текущей информации выглядит всё вполне определённым образом.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1446170 писал(а):

Что если $f$ неинъективная, немонотонная крокодилица?

Вот это я и хочу выяснить. Потому что пытаться дать рекомендации в случае совсем вообще произвольной функции - дело достаточно безнадёжное.

[novichok2018]

Интересно, что если назвать этот интеграл по имени, то это дробная производная Герасимова половинного порядка. Или как называют малограмотные и просто жулики - Капуто.