Теплопроводность.

[inevitablee]

Здравствуйте. В Сивухине написано: "плотность потока тепла надо рассматривать как функцию координаты и времени". Оно в общем-то и понятно. Далее описывается два класса задач на теплопроводность: стационарные и нестационарные. Стационарными называют такие, в которых температура среды является только функцией координаты, т.е не зависит от времени. Затем рассматривается пример такой стационарной задачи: http://joxi.ru/p271Wq1fWElaXr. В ходе решения получают выражение для плотности потока тепла и он получается постоянным. У меня возникает два вопроса:
1)Как температура в данной точке может оставаться постоянной при постоянной плотности потока тепла? Ведь если есть ненулевой поток, то это означает, что через единичную площадку в единицу времени передается столько-то тепла, т.е следующая точка по определению должна нагреваться, но это противоречит тому, что задача стационарная.
2) Как понять, является ли задача стационарной? В разборе этой задачи http://joxi.ru/BA0O9kOFPwyWW2 используется постоянство потока тепла в каждом сечении, и объясняется это тем, что тепло как бы не скапливается в одной точке(как заряды не скапливаются в одной точке цепи), но я не понимаю, почему из того, что поток тепла в данном сечении меняется, следует, что тепло где-то скапливается. Скажем, меняется плотность потока тепла, значит, в следующую секунду через данную площадку пройдет другое количество тепла. При постоянной "поставке" тепла это действительно приведет к задержке тепла и нагреву точки, но почему "поставка" постоянна? Пришло два джоуля, ушло два джоуля, а в следующую секунду пришел один, ушел один. Плотность потока изменилась, но задержки тепла в одной точке нет. В чем проблема?

[arseniiv]

inevitablee в сообщении #1446064 писал(а):

1)Как температура в данной точке может оставаться постоянной при постоянной плотности потока тепла? Ведь если есть ненулевой поток, то это означает, что через единичную площадку в единицу времени передается столько-то тепла, т.е следующая точка по определению должна нагреваться, но это противоречит тому, что задача стационарная.

Э нет, нагревается/остывает точка или нет, зависит не от плотности потока тепла, а от того, входит/выходит он в неё или нет, и чтобы это узнать, как раз надо взять оператор Лапласа от плотности потока.

-- Сб мар 21, 2020 19:28:26 --

inevitablee в сообщении #1446064 писал(а):

2) Как понять, является ли задача стационарной?

Ну по-моему тут просто: если стационарное уравнение решается, значит ура, а если не решается, значит не ура.

[inevitablee]

arseniiv
arseniiv
Это как? Есть сечение, есть плотность потока. Тепло течет слева направо(условно). Через это сечение в единицу времени проходит определенное количество теплоты.

[arseniiv]

Да, а как это «проходит» определяется?

-- Сб мар 21, 2020 20:20:08 --

То есть вот мы можем разбить тело на маленькие кусочки, у каждого своя внутренняя энергия, и за какое-то малое время соседние кусочки друг другу передают сколько-то теплоты, и предположим, что больше никак внутренняя энергия не меняется. Пусть каждый кусочек достаточно близок к термодинамическому равновесию, тогда мы свяжем внутреннюю энергию с температурой. И… и мы получаем (после пары дополнительных допущений) уравнение теплопроводности. Ой.

[Munin]

inevitablee в сообщении #1446064 писал(а):

В Сивухине написано

Решение уравнения теплопроводности - это предмет "Уравнений математической физики". Базовая литература: Тихонов-Самарский; Владимиров; Морс-Фешбах; Кошляков-Глинер. Справочник: Полянин.

А в Сивухине можно только вычитать какие-то общие объяснения "на пальцах". Потому что это "Общая физика", курс 1-2-й, а УМФ - курс 2-3-й (после курсов матана и ОДУ).

-- 21.03.2020 20:33:09 --

inevitablee в сообщении #1446064 писал(а):

1)Как температура в данной точке может оставаться постоянной при постоянной плотности потока тепла? Ведь если есть ненулевой поток, то это означает, что через единичную площадку в единицу времени передается столько-то тепла, т.е следующая точка по определению должна нагреваться, но это противоречит тому, что задача стационарная.

Следующая точка нагревается от данной, но охлаждается ещё после-следующей. Сколько она получает, столько и отдаёт. Так и получается стационарная картина.

Например, если мы рассматриваем 1-мерную задачу, на отрезке $[0,\ell],$ и в точке $x=0$ каким-то физическим способом поддерживается температура $T_1$ (например, нагреванием), а в точке $x=\ell$ поддерживается температура $T_2$ (например, потоком хладагента), то на этом отрезке будет линейно спадающая температура.

(Оффтоп)

При постоянных теплоёмкости и теплопроводности каждого бесконечно малого объёма вещества.

И в каждой точке (лучше говорить, в каждом $dV,$ или в одномерном случае $dx$) будет равновесие притока тепла с одной стороны, и оттока тепла с другой стороны. Так что температура не будет расти или падать.

В 2-мерной задаче, в 3-мерной задаче можно найти такие же стационарные конфигурации, но они уже будут не линейными функциями.

-- 21.03.2020 20:42:17 --

inevitablee в сообщении #1446064 писал(а):

2) Как понять, является ли задача стационарной?

В условиях это должно быть явно сказано. Условие стационарности означает, что мы рассматриваем предел $t\to\+infty,$ и предполагаем, что в этом пределе все нестационарные процессы успокаиваются, и остаётся только равновесный поток тепла. (В частном случае, нулевой.)

Если такого условия не наложено, то мы имеем существенно более сложную - нестационарную задачу. По сути, решаем другое математическое уравнение: не

$$a^2\,\Delta T=0\qquad\qquad\mathrm{1D\colon}\quad a^2\,\dfrac{d^2T}{dx^2}=0,$$

а

$$a^2\,\Delta T=\dfrac{\partial T}{\partial t}\qquad\qquad\mathrm{1D\colon}\quad a^2\,\dfrac{\partial^2T}{\partial x^2}=\dfrac{\partial T}{\partial t}.$$

Как видите, нестационарное уравнение переходит в стационарное, если положить $\partial T/\partial t=0.$

-- 21.03.2020 20:53:42 --

inevitablee в сообщении #1446064 писал(а):

тепло как бы не скапливается в одной точке(как заряды не скапливаются в одной точке цепи), но я не понимаю, почему из того, что поток тепла в данном сечении меняется, следует, что тепло где-то скапливается.

Рассуждайте по аналогии с электрическим током: теплота (тепловая энергия) ~ электрический заряд, поток тепла ~ электрический ток.

Для заряда, как и для тепловой энергии, выполняется уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения величины:

$$-\operatorname{div}\mathbf{j}=\dfrac{\partial\rho}{\partial t}\qquad\qquad\mathrm{1D\colon}\quad -\dfrac{\partial j_x}{\partial x}=\dfrac{\partial\rho}{\partial t}.$$

Оно, собственно, и выражает ту идею, что "если входит и выходит разное количество, то остальное скапливается". А "разное количество" как раз и означает, что поток меняется от сечения к сечению: $\partial j_x/\partial x\ne 0.$ Это соотношение выполняется в любой момент времени, и в стационарной задаче ($\mathbf{j},\rho=\mathrm{const}_t$), и в нестационарной ($\mathbf{j},\rho\ne\mathrm{const}_t$).

inevitablee в сообщении #1446064 писал(а):

Скажем, меняется плотность потока тепла, значит, в следующую секунду через данную площадку пройдет другое количество тепла. При постоянной "поставке" тепла это действительно приведет к задержке тепла и нагреву точки, но почему "поставка" постоянна? Пришло два джоуля, ушло два джоуля, а в следующую секунду пришел один, ушел один. Плотность потока изменилась, но задержки тепла в одной точке нет. В чем проблема?

Здесь плотность потока изменилась со временем - ну и пускай. Нужно, чтобы она не менялась с сечением.

[inevitablee]

Munin
Я, кажется, понял. Первично условие ненакопления теплоты в одном сечении: оно как бы постулируется из геометрии задачи. Отсюда мы говорим, что если в некоторый малый объем вошло два джоуля с левого торца(условно), то и выйти должно столько же с правого торца, иначе оно копится и греет этот объем, изменяя его температуру. Хорошо, установили, что плотность потока с координатой не изменяется. Тогда температура сечения зависит только от координаты. В аналогии с током температура это потенциал, верно?

[Munin]

inevitablee в сообщении #1446117 писал(а):

Хорошо, установили, что плотность потока с координатой не изменяется.

В одномерном случае.

inevitablee в сообщении #1446117 писал(а):

В аналогии с током температура это потенциал, верно?

В том смысле, что перепад температуры служит причиной потока тепла, да.

-- 21.03.2020 23:45:56 --

Уточню. По математической классификации, все перечисленные уравнения - уравнения в частных производных (ДУЧП), и изучаются в курсе УМФ (у физиков, у математиков курс может так и называться ДУЧП). Кроме одномерного стационарного уравнения теплопроводности, которое оказывается обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ), потому что в стационарном случае искомая функция зависит только от одной переменной (по которой берётся дифференцирование):

Munin в сообщении #1446099 писал(а):

$$\mathrm{1D\colon}\quad a^2\,\dfrac{d^2T}{dx^2}=0$$

Обычно сначала читают курс ОДУ, а потом курс УМФ / ДУЧП, так что это уравнение вам встретится раньше других вариантов.

С другой стороны, для решения этого уравнения в физической задаче, необходимо поставить добавочные условия - граничные условия. Например:
I. Температура на одном конце отрезка одна, а на другом - другая.
II. Задана температура на конце отрезка, и поток тепла через него.
III. Задана температура на одном конце отрезка, и поток тепла через другой конец.
IV. Задана некая линейная комбинация температуры и потока тепла на одном конце отрезка, и другая линейная комбинация - на другом конце.
V. Температура и/или поток тепла на одном конце отрезка связаны с температурой и/или потоком тепла на другом конце, например, как если бы отрезок был замкнут в кольцо.
или ещё какие-то варианты. Уравнение с такими условиями вместе образует граничную задачу. И вот здесь типичные математические постановки граничных задач берутся из физики, и точно так же дальше в курсе УМФ будет много граничных задач, тоже с граничными условиями физического происхождения, с тем или иным физическим смыслом.

[inevitablee]

Munin
Спасибо Вам большое. У нас этот предмет будет называться Методы математической физики, а читаться будет только на третьем курсе. Я же пока первокурсник.

[Munin]

inevitablee в сообщении #1446228 писал(а):

У нас этот предмет будет называться Методы математической физики

Такое тоже бывает. Хотя книжки под названием "Методы математической физики" - бывают не только уровня традиционного предмета УМФ, но и гораздо круче.

Ну, пока вы первокурсник, можно ограничиться чтением https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation , и то по диагонали.