Неравенство с наилучшей константой

[nnosipov]

Навеяно темой topic139412.html

Даны положительные числа $s_1, \ldots, s_n$.

а) Существует такая положительная константа $C(s_1,\dots,s_n)$, что для любых положительных чисел $X_1, \ldots, X_n$ выполняется неравенство

$$ \sum_{l=1}^n X_l^{ns_l} \geqslant C(s_1,\dots,s_n) \bigg(\prod_{l=1}^n X_l\bigg)^s, $$

где $s$ --- среднее гармоническое чисел $s_1, \ldots, s_n$, т.е.

$$ s=\frac{n}{s_1^{-1}+\ldots+s_n^{-1}}. $$

б) Утверждение п. а) станет неверным, если показатель $s$ в правой части неравенства заменить любым фиксированным бОльшим числом.
в) Найдите наибольшее возможное значение константы $C(s_1,\dots,s_n)$.

[novichok2018]

очень хочется прологарифмировать...

[nnosipov]

novichok2018
А это неравенство ни на что известное не похоже? Когда-то давно мне зачем-то потребовался этот велосипед, и доказывал я его по-простому. Как, сейчас не помню, но решение у меня записано.

[RIP]

Это просто неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

$$\sum p_ia_i\geqslant\prod a_i^{p_i},\qquad\sum p_i=1.$$

Полагая $a_i=\dfrac{X_i^{ns_i}}{p_i}$, $p_i=s/(ns_i)$, получаем

$$\sum X_i^{ns_i}\geqslant\prod p_i^{-p_i}\cdot\left(\prod X_i\right)^s,$$

то есть можно взять $C=\prod p_i^{-p_i}$.

Полагая $X_i^{ns_i}/p_i=a$, получаем, что показатель $s$ нельзя заменить никаким другим, а константу нельзя увеличить.

[nnosipov]

RIP в сообщении #1446015 писал(а):

Это просто неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Да, действительно. Но все-таки не совсем классическое. Как я понимаю, сначала мы доказываем для рациональных $p_i$ (и это обычное неравенство между средними), а затем предельный переход.

[RIP]

nnosipov в сообщении #1446020 писал(а):

Но все-таки не совсем классическое.

Ну, в Харди–Литтлвуде–Пойа есть, так что можно считать классикой.

[nnosipov]

RIP в сообщении #1446027 писал(а):

так что можно считать классикой

Безусловно. Это мой личный запас такой "классики" невелик.

[novichok2018]

Интересно переформулировать в терминах средних (стандартные обозначения $M_n, G, H$):

$$ \left(G(x_1,\dots,x_n)\right)^{H(s_1,\dots,s_n)} \leq K(n,s_1,\dots,s_n) M_n(x_1^{s_1},\dots,x_n^{s_n}). $$

Оценка $G$ через $M$ сверху обычная, но то, что можно добавить степень, причём $H$ --- точная, выглядит необычно.