Цепочка неравенств

[Sicker]

Верны ли следующие неравенства
1. $(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2) \geqslant (x_1 y_1+x_2 y_2)^2$
2. $\sum\limits_{i} x_i^2 \sum\limits_{i} y_i^2 \geqslant (\sum\limits_{i} x_i y_i)^2$
3. $\prod\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^m x_{ij}^n \geqslant (\sum\limits_{i=1}^m \prod\limits_{j=1}^n x_{ij})^n$
Последние два вывел я сам :)

[novichok2018]

Вы Коши и Буняковский сразу. Или я не понял чего-то?

[nnosipov]

Sicker в сообщении #1445792 писал(а):

Последние два вывел я сам :)

Да, второе впечатляет.

[pogulyat_vyshel]

Sicker

Откройте 1 том Анализа Лорана Шварца и почитайте как это делается, неравенства Гельдера Минковского и т д. Изобретатель блин

[Sicker]

(Оффтоп)

novichok2018
Ой блин, как я их не опознал то, жесть

pogulyat_vyshel в сообщении #1445799 писал(а):

Откройте 1 том Анализа Лорана Шварца и почитайте как это делается, неравенства Гельдера Минковского и т д. Изобретатель блин

Я так понимаю мое третье неравенство частный случай неравенства Гельдера? Хотя там только два множителя, или у него есть обобщения на случай $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+...=1$?

[novichok2018]

Третье неравенство есть в Харди Литтвульд Пойа Неравенства, или Баккенбах/Беллман Неравенства. До сих пор думаю, что это неудачная шутка. Есть целый набор неравенств, обобщающих К-Б, кроме тех, что есть в классических книгах. Если заинтересует, пришлю ссылки

[nnosipov]

В принципе, изобретать велосипеды --- это роскошь, которую студенты вполне себе могут позволить.