Задача по топологии

[vsgvsg]

В начале книги "Элементарна топология" дошел до такой задачи: Перечислите все наборы подмножеств трехэлементного множества, такие, что существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкнутых множеств, но не знаю как решить, даже не понятно что имеется в виду под полными наборами.
Была мысль просто составить множество из трех элементов и составлять топологии из самого множества, пустого множества и дополнениям к элементам, но как-то не очень получается.

[Someone]

vsgvsg в сообщении #1334727 писал(а):

Перечислите все наборы трехэлементного множества, такие, что существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкнутых множеств

Кажется, одно слово пропущено, и должно быть "… все наборы подмножеств трехэлементного множества …". Вас просят перечислить все топологии, возможные на множестве из трёх элементов, и для каждой такой топологии выписать все замкнутые подмножества.

[vsgvsg]

Т.е если $X=(A; B; C)$ - трехэлементное множество, $F=(X; \varnothing; X\backslash A)$ - одна из топологий на $X$, но $X$ и $\varnothing$- замкнуты, и эти элементы должны быть в каждой топологии, значит все что нужно это перебрать все возможные?!
(еще $A$ - замкнуто т.к дополнение открыто)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

vsgvsg в сообщении #1334765 писал(а):

$F=(X; \varnothing; X\backslash A)$

Это такой странный способ записать множество $\{\varnothing, X, X \setminus \{A\}\}$?
Да, это одна из топологий на $X$. Какие в ней множества открыты? Какие замкнуты?
Какие еще есть топологии на $X$?

[vsgvsg]

Найти все возможные топологии и описать элементы я понимаю как, я не понимаю что они имеют в виду под полными наборами замкнутых множеств.

[mihaild]

Полный набор замкнутых множеств для данной топологии - все множества, замкнутые в данной топологии.

[vsgvsg]

Понял, спасибо

[Unname35]

Хочу поднять тему, чтобы не создавать новый тред. Топологий на трехэлементном множестве - 29. Каждая топология образует наборы замкнутых подмножеств, которые являются полными наборами замкнутых подмножеств на данной топологии. Т.е. наборов подмножеств, которые необходимо найти в задаче- также 29. В свою очередь, в конце книги дан ответ-14. Почему не каждый набор замкнутых подмножеств является полным набором замкнутых подмножеств?

[Slav-27]

Unname35 в сообщении #1445602 писал(а):

В свою очередь, в конце книги дан ответ-14.

Думаю, что это ошибка.

[Someone]

Unname35 в сообщении #1445602 писал(а):

Топологий на трехэлементном множестве - 29.

Если с точностью до гомеоморфизма — то $9$.

[Connector]

Someone в сообщении #1445646 писал(а):

Если с точностью до гомеоморфизма — то $9$.

Решил их посчитать.

(Оффтоп)

1. Дискретная топология,
2. Антидискретная топология,

Топологии, содержащие кроме $X$ и $\varnothing$

3. Одноэлементное подмножество (таких $3$ экземпляра),
4. Двухэлементное подмножество ($3$),
5. Одноэлементное подмножество и его дополнение ($3$),
6. Два одноэлементных подмножества и их объединение ($3$),
7. Двухэлементное подмножество и его одноэлементное подмножество ($6$),
8. Два двухэлементных подмножества и их пересечение ($3$),
9. Два одноэлементных и два двухэлементных подмножества ($6$ экземпляров).

В Ответах сказано:

Цитата:

Для контроля укажем лишь, что всего существует четырнадцать таких наборов.

Откуда могла взяться эта цифра — для меня загадка.

[george66]

Почему-то никто не рассказывает, что топологии на конечном множестве - это предпорядки. А предпорядок - это вроде порядка, но не обязательно выполнена аксиома
$A\leqslant B \wedge B\leqslant A \Rightarrow A=B$
По каждой топологии можно задать предпорядок
$A\leqslant B$ если каждое открытое множество, содержащее $A$, содержит $B$ (равносильно, если каждое замкнутое множество, содержащее $B$, содержит $A$, равносильно, если $A$ принадлежит замыканию $\{B\}$)
По предпорядку задаётся топология: множество открыто, если вместе с каждой своей точкой содержит все большие её (равносильно, множество замкнуто, если вместе с каждой своей точкой содержит все меньшие её). Конечность множества важна тем, что пересечение любого семейства открытых множеств открыто. Предпорядок является порядком, если топология удовлетворяет самой слабой аксиоме отделимости $T_0$ (две точки, принадлежащие одним и тем же открытым множествам, равны). Посчитайте число разных порядков на множестве из трёх элементов, вдруг их 14.

[пианист]

george66
Похоже на топологию Скотта. Но там еще условие, замкнутое множество вместе со всякой под-направленностью содержит и ее твг (в открытых коряво выглядит).