Способы представить число в виде суммы аликвотных дробей

[arseniiv]

1. Сколько существует способов представить рациональное число $p/q$ в виде суммы $n$ дробей с единичными числителями?

(Возможно, не олимпиадно, но пока решение в глаза мне не бросилось.)

2. Частный случай: сколько есть способов разложить на $n$ аликвотных дробей число $\frac n2 - 1$? (Конечно, $n>1$.)

UPD. Дроби в сумме не обязательно различные.

[chessar]

1) Ну насчет не олимпиадно, что-то я засомневался. Посмотрите вот хотя-бы, частный случай - Erdős–Straus conjecture

[EtCetera]

1. Это число способов можно грубо, но довольно просто оценить.
Обозначим наше число $\dfrac{p}{q}=x$. Очевидно, что наибольшее значение суммы $n$ аликвотных дробей (если не считать $1$ таковой) равно $H_{n+1}-1$, где $H_n=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$. Но $H_n<\ln n+\dfrac{1}{2n}+\gamma$ ($\gamma$ $\text{---}$ постоянная Эйлера-Маскерони), поэтому при $x\ge \ln (n+1)+\dfrac{1}{2(n+1)}+\gamma -1$ искомое число способов равно 0.
Наименьшее значение суммы $n$ аликвотных дробей со знаменателями, не превышающими $m$, равно $H_{m}-H_{m-n}$. Но $H_n>\ln n+\dfrac{1}{2(n+1)}+\gamma$, поэтому наибольшее значение $m$ (обозначим его $M$) равно $M=\left\lfloor m^*\right\rfloor$, где $m^*$ $\text{---}$ (положительный) корень уравнения $\ln \dfrac{m^*}{m^*-n}-\dfrac{n+1}{2(m^*+1)(m^*+n)}=x$. Следовательно, искомое число способов не превышает $\binom{M-1}{n}$.

[arseniiv]

EtCetera в сообщении #634776 писал(а):

Очевидно, что наибольшее значение суммы $n$ аликвотных дробей (если не считать $1$ таковой) равно $H_{n+1}-1$

Это если они различны, что не оговорено.

[EtCetera]

Тогда 0 будет при $x>\dfrac{n}{2}$, а при $x\le \dfrac{n}{2}$ может быть максимум $\binom{M+n-2}{n}$ способов, где $M=\left\lfloor\dfrac{n}{x}\right\rfloor$. В общем, ничего содержательного из оценок не получилось.
Если считать дроби различными, то при $x=1$ и $n=10$ имеем $M=15$ и оценка сверху для числа способов выходит равной всего 1001, а если разными $\text{---}$ уже $43\,758$ ($M=10$).
Upd: поправил число способов.

[kotenok gav]

Вопрос а-ля Ktina: есть ли такая последовательность (для $p$, $q$, и $n$) в OEIS?

[novichok2018]

Есть такая наука - разложение функций в сумму таких дробей с единичными числителями. Когда-то давно встречал знаменитого математика, который этим занимался, кажется, он был без руки. Но по склерозу мне не вспомнить фамилии.

[novichok2018]

Имел в виду в родственной задаче о разложении не чисел, а функций, изложенное по этой ссылке:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0 ... 0%B1%D1%8C