Изгибание минимальной поверхности

[Утундрий]

Пусть некоторая двумерная поверхность $\mathcal{M}$ вложена в трехмерное евклидово пространство

$$\mathcal{M} : ~ \mathbb{R}^2 \ni x \to {\mathbf{y}}\left( x \right) \in \mathbb{E}^3$$

так, что её площадь экстремальна. (Такие поверхности принято называть минимальными)

Спрашивается, допускает ли такая поверхность изометрические изгибания? (Изогнутая поверхность также должна быть минимальной)

[Slav-27]

Локально -- да.
https://en.wikipedia.org/wiki/Associate_family

[Утундрий]

Slav-27
Спасибо, буду изучать.

Хотя, тяжеловата артиллерия. Наверное, доказать возможность б.м. изгибания можно и проще.

[Slav-27]

Утундрий в сообщении #1438937 писал(а):

Наверное, доказать возможность б.м. изгибания можно и проще.

Формулы по ссылке позволяют выразить $x_k(\zeta,\theta)$ через $x_k(\zeta)$. А именно, если параметризация переводит $0$ в $0$ (этого всегда можно добиться сдвигом), то $x_k(\zeta,\theta)=x_k(\zeta)\cos\theta-\tilde x_k(\zeta)\sin\theta$. Здесь $\tilde f(z)$ -- это мнимая часть голоморфной функции, которая равна $0$ в $0$ и у которой вещественная часть $f(z)$. Из этого, наверно, можно всё получить элементарными методами.

[Утундрий]

Замечательно, конечно, что для двумерного случая так много сделано, но меня-то вообще говоря больше интересует случай общий:

$$\mathcal{M} : ~ \mathbb{R}^n \ni x \to {\mathbf{y}}\left( x \right) \in \mathbb{E}^{n+1}$$

на который вся эта изощрённая ТФКП вряд ли переносится. Буду пока что держать $n=2$ в уме и попытаюсь понять, что можно сделать для произвольного $n$. Локально, разумеется, локально.

Деривационных формулы для рассматриваемого случая имеют вид

$$\left\{ {\begin{array}{rcl} {{\mathbf{y}}_{,\mu \nu } &=& \Gamma _{\mu \nu }^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } + b_{\mu \nu } ~ {\mathbf{e}}} \\ {{\mathbf{e}}_{,\mu } &=& - b_\mu ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } } \\ \end{array} } \right. \eqno (1)$$

Тогда метрика на поверхности есть $g_{\mu \nu } : = {\mathbf{y}}_{,\mu } \cdot {\mathbf{y}}_{,\nu }$, а нормаль удовлетворяет естественным требованиям ${\mathbf{e}} \cdot {\mathbf{e}} = 1$ и ${\mathbf{e}} \cdot {\mathbf{y}}_{,\alpha } = 0$

Условия интегрируемости $(1)$ дают

$$\left\{ {\begin{array}{rcl} {{R^\alpha}_{\beta \mu \nu } : = b_\mu ^\alpha b_{\beta \nu } - b_\nu ^\alpha b_{\beta \mu } &=& \Gamma _{\beta \nu ,\mu }^\alpha - \Gamma _{\beta \mu ,\nu }^\alpha + \Gamma _{\omega \mu }^\alpha \Gamma _{\beta \nu }^\omega - \Gamma _{\omega \nu }^\alpha \Gamma _{\beta \mu }^\omega } \\ {b_{\mu ;\nu }^\alpha - b_{\nu ;\mu }^\alpha } &=& 0 \\ \end{array} } \right. \eqno (2)$$

А минимальность $\mathcal{M}$ эквивалентна условию

$$b_\alpha ^\alpha = 0 \eqno (3)$$

Из $(2)$ и $(3)$ выводятся полезные соотношения $R: = {R^{\alpha \beta }} _{\alpha \beta } = - b_\beta ^\alpha b_\alpha ^\beta $ и $b_{\mu ;\alpha }^\alpha = 0$.

Теперь рассмотрим изогнутую поверхность

$$\mathcal{\tilde M} : ~ \mathbb{R}^n \ni x \to {\mathbf{\tilde y}}\left( x \right) \in \mathbb{E}^{n+1}$$

где

$${\mathbf{\tilde y}} = {\mathbf{y}} + \xi ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } + \phi ~ {\mathbf{e}}$$

и найдём на ней метрику. Для этого вычислим новые касательные векторы

$${\mathbf{\tilde y}}_{,\mu } = {\mathbf{y}}_{,\mu } + A_\mu ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } + B_\mu ~ {\mathbf{e}}$$

где введены следующие обозначения

$$\left| {\begin{array}{rcl} {A_\mu ^\alpha &: =& {\xi ^\alpha} _{;\mu } - \phi ~ b_\mu ^\alpha } \\ {B_\mu &: =& \phi _{,\mu } + \xi ^\alpha ~ b_{\alpha \mu} \\ \end{array} } \right.$$

Всюду ниже будем пренебрегать членами выше первого порядка малости по $\xi$ и $\phi$. Тогда метрика на $\mathcal{\tilde M}$ даётся выражением

$$\tilde g_{\mu \nu } : = {\mathbf{\tilde y}}_{,\mu } \cdot {\mathbf{\tilde y}}_{,\nu } = g_{\mu \nu } + \left( {A_{\mu \nu } + A_{\nu \mu } } \right) + ...$$

Отсюда видно, что необходимым условием изометричности изгибания будет $A_{\mu \nu } + A_{\nu \mu } = 0$, что приводится к виду

$$\fbox{2\phi ~ b_{\mu \nu } = \xi _{\mu ;\nu } + \xi _{\nu ;\mu } } \eqno (4)$$

Из $(4)$ можно извлечь ${\xi ^\alpha} _{;\alpha } = 0$, что можно переписать как $\left( {\sqrt g ~ \xi ^\alpha } \right)_{,\alpha } = 0$.

Мы хотим, чтобы изогнутая поверхность также была минимальна. Для формулировки соответствующего необходимого условия нам понадобятся коэффициенты возмущенной второй квадратичной формы $\tilde b_{\mu \nu } : = {\mathbf{\tilde y}}_{,\mu \nu } \cdot {\mathbf{\tilde e}}$. Имея таковые, искомое условие запишем в виде $\tilde b_\alpha ^\alpha = g^{\mu \nu } \tilde b_{\mu \nu } = 0 + ...$

Общий вид возмущённой нормали ${\mathbf{\tilde e}} = {\mathbf{e}} + \lambda ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } + \zeta ~ {\mathbf{e}}$ после удовлетворения условиям

$$\left\{ {\begin{array}{lcl} {{\mathbf{\tilde e}} \cdot {\mathbf{\tilde e}} &=& 1} \\ {{\mathbf{\tilde e}} \cdot {\mathbf{\tilde y}}_{,\mu } &=& 0} \\ \end{array} } \right.$$

конкретизируется до

$${\mathbf{\tilde e}} = {\mathbf{e}} - B^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } + ...$$

Вычисление вторых производных возмущенного радиус-вектора приводит к

$${\mathbf{\tilde y}}_{,\mu \nu} = {\mathbf{y}}_{,\mu \nu} + C_{\mu \nu} ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } + D_{\mu \nu} ~ {\mathbf{e}}$$

где

$$\left| {\begin{array}{rcl} {C_{\mu \nu} ^\alpha &: =& A_{\mu ; \nu} ^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\beta A_\beta ^\alpha - B_\mu b_\nu ^\alpha \\ {D_{\mu \nu} &: =& A_\mu ^\alpha ~ b_{\alpha \nu } + B_{\mu ;\nu } + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha B_\alpha \\ \end{array} } \right.$$

Условие минимальности принимает вид $g^{\mu \nu } \left( {D_{\mu \nu } - \Gamma _{\mu \nu }^\alpha B_\alpha } \right) = 0$ или, после всех подстановок,

$$\phi ^{;\alpha } _{;\alpha } + \phi ~ b_\beta ^\alpha b_\alpha ^\beta = 0$$

Что (внезапно!) оказывается возможным выразить в терминах одной только внутренней геометрии поверхности

$$\fbox{\phi ^{;\alpha } _{;\alpha } = R ~ \phi} \eqno (5)$$

[Утундрий]

Проверим формулы на указанном Slav-27 преобразовании катеноида в геликоид:

$${\mathbf{y}} = \cos \theta \left( {\begin{array}{сcс} {\ch r~\cos \varphi } \\ {\ch r~\sin \varphi } \\ r \\ \end{array} } \right) + \sin \theta \left( {\begin{array}{сcс} {\sh r~\sin \varphi } \\ { - \sh r~\cos \varphi } \\ \varphi \\ \end{array} } \right)$$

Вычисляя след второй фундаментальной формы, можно убедиться что данная поверхность минимальна при любом значении $\theta$. При $\theta=0$ имеем катеноид, при $\theta=\pi /2$ - геликоид.

Будем считать катеноид базовой поверхностью. Тогда формулы $(4,5)$ примут вид

$$\left\{ {\begin{array}{rcl} {\dfrac{{\partial ^2 \phi }} {{\partial r^2 }} + \dfrac{{\partial ^2 \phi }} {{\partial \varphi ^2 }} + \dfrac{{2\phi }} {{\ch ^2 r}} = 0} \\ {\phi = \dfrac{{\partial \xi _1 }} {{\partial r}} - \th r~\xi _1 } \\ { - \phi = \dfrac{{\partial \xi _2 }} {{\partial \varphi }} + \th r~\xi _1 } \\ {0 = \dfrac{{\partial \xi _1 }} {{\partial \varphi }} + \dfrac{{\partial \xi _2 }} {{\partial r}} - 2\th r~\xi _2 } \\ \end{array} } \right. \eqno (6)$$

Разложим $\mathbf{y}$ по степеням $\theta$ и обозначим $\delta {\mathbf{y}}$ вектор при первой степени $\theta$. Понимая его как возмущение базовой поверхности, находим

$$\phi : = \delta {\mathbf{y}} \cdot {\mathbf{e}} = - \varphi ~\th r \qquad \xi _1 : = \delta {\mathbf{y}} \cdot {\mathbf{y}}_{,1} = \varphi \qquad \xi _2 : = \delta {\mathbf{y}} \cdot {\mathbf{y}}_{,2} = - \sh r~\ch r \eqno (7)$$

где

$$\[ {\mathbf{e}} := \frac{1} {{\ch r}}\left( {\begin{array}{rcl} {\cos \varphi } \\ {\sin \varphi } \\ { - \sh r} \\ \end{array} } \right) \] $$

Постановка $(7)$ в $(6)$ даёт тождество.

[Утундрий]

Прежде чем искать общие решения уравнений $(6)$ полезно перечислить их "тривиальные" решения, соответствующие "твердотельным" сдвигам и поворотам поверхности. Так, трансляциям

$$\[ \delta {\mathbf{y}} = \left( {\begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) \] $$

соответствуют решения

$$\[ \begin{array}{ccc} \phi & {\xi _1 } & {\xi _2 } \\ {\cos \varphi /\operatorname{ch} r} & {\operatorname{sh} r\cos \varphi } & { - \operatorname{ch} r\sin \varphi } \\ {\sin \varphi /\operatorname{ch} r} & {\operatorname{sh} r\sin \varphi } & {\operatorname{ch} r\cos \varphi } \\ { - \operatorname{th} r} & 1 & 0 \\ \end{array} \] $$

А повоторам

$$\[ \delta {\mathbf{y}} = \left( {\begin{array}{ccc} 0 \\ { - r} \\ {\operatorname{ch} r~\cos \varphi } \\ \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc} r \\ 0 \\ { - \operatorname{ch} r~\cos \varphi } \\ \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc} { - \operatorname{ch} r~\sin \varphi } \\ {\operatorname{ch} r~\cos \varphi } \\ 0 \\ \end{array} } \right) \] $$

решения

$$\[ \begin{array}{ccc} \phi & {\xi _1 } & {\xi _2 } \\ { - (r/\operatorname{ch} r + \operatorname{sh} r)\sin \varphi } & {(\operatorname{ch} r - r\operatorname{sh} r)\sin \varphi } & { - r\operatorname{ch} r\cos \varphi } \\ {(r/\operatorname{ch} r + \operatorname{sh} r)\cos \varphi } & { - (\operatorname{ch} r - r\operatorname{sh} r)\cos \varphi } & { - r\operatorname{ch} r\sin \varphi } \\ 0 & 0 & {\operatorname{ch} ^2 r} \\ \end{array} \] $$

Отсюда видно, что ограничение только ограниченными решениями было бы слишком ограничительным.

[Утундрий]

Не совсем понятно, как двигаться дальше.

Возмущённые поверхности, целиком попадающие в некоторую окрестность фоновой исследуются относительно легко. Но возникает вопрос: насколько корректно связывать "твердотельно расходящееся" решение линеаризованного уравнения с действительно твердотельно-растянутым новым точным решением. Если так можно поступать, то это упрощает.

Медитирую пока над идеей разорвать фон на куски и точно их посдвигать с проворотами. Получившийся таким образом новый фон можно снова возмутить.

Наверное, для начала, стоило бы найти хотя бы одно точное решение такого "растянутого" вида.

[Slav-27]

Сдаётся мне, что ответ "вообще говоря нет".

Теорема. Пусть $M$ связное $n$-мерное ориентируемое риманово многообразие, и пусть задано его изометрическое погружение в евклидово пространство $\mathbb E^{n+1}$. Если в каждой точке $M$ среди $n$ главных кривизн есть 3 ненулевые попарно различные, то любое другое изометрическое погружение отличается от данного на движение $\mathbb E^{n+1}$.

Это теорема Беца (Beez) и Киллинга, в основном из 19 века. Смотрите: Кобаяси, Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Том 2, глава 7, следствие 6.5.

Вы знаете минимальную гиперповерхность в евклидовом пространстве, у которой хотя бы в одной точке хотя бы 3 главные кривизны попарно различные и ненулевые? Если такая бывает, то около этой точки она не гнётся (только двигается). Я такую не знаю, но с чего бы их не было.

-- 19.03.2020, 21:48 --

То есть вообще не гнётся, даже если не требовать сохранения минимальности.