Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела

[frostysh]

Вопрос

Ползу по книгах по физике, и вот в книге Фриш, Тиморева "Курс общей физики" том первый, на странице тридцать восемь, второй абзац нашел следующее: "Наконец и сама ось вращения может менять свое положение относительно тела; в этом случае для каждого данного момента времени говорят о вращении вокруг мгновенной оси."; но больше пояснений и рисунков нету.
Немогу это вообразить, представить в виде модели в голове так сказать, вообще непонятно как может тело быть твердым если ось вращения сама движется относительно тела в любой, сколь угодно малый промежуток времени! С мгновенной скоростью в классической механике хотя наглядно, можно представить, а тут что-то не...

Попытки разобраться в вопросе

Пусть у нас есть некоторый объект, точней абсолютно твердое тело. Оно вращается. Ось вращения проходит через точку $O$, выберем в теле некую точку $A$, траектория этой точки будет окружность с центром в $O$.



Теперь немного сдвинем ось вращения, при этом нарисуем новую траекторию для точки $A$ которая будет окружность изображена штрихованной линией с центром в $O'$, если так продолжать непрерывно во времени, ведь точки тела должны сместится одно относительно другого, а это противоречит определению абсолютной твердости.

[realeugene]

frostysh в сообщении #1444977 писал(а):

ведь точки тела должны сместится одно относительно другого

Нет.

[frostysh]

realeugene

Какая тогда траектория должна быть в точки $A$ если мы будем продолжать двигать ось вращения, например поворачивать ее за часовой стрелкой вокруг точки там $O$? Разве для разных точек тела эта траектория не будет разной?

[wrest]

frostysh в сообщении #1444977 писал(а):

С мгновенной скоростью в классической механике хотя наглядно, можно представить, а тут что-то не...

Ну вот колесо катится по дороге. Можно себе представить, что мгновенная ось проходит через точку контакта колеса и дороги.
Разве в вашей книжке такого примера нет?

[arseniiv]

frostysh
Траектории у разных точек твёрдого тела разумеется разные в любом случае, если только не понимать их одинаковость уж очень обобщённо. Но они, точки, могут двигаться так, что расстояния между ними сохраняются, но при этом это движение не является вращением в фиксированной плоскости. К счастью любое такое движение можно будет представить так, что в каждый момент $t$ его линейная по $\Delta t$ часть будет вращением в какой-то всё же определённой плоскости, просто для разного момента разной. На всякий случай, это не значит, что есть какая-то окрестность $t$, на которой тело реально вращается в такой плоскости — для точного понимания это требует матанализа, который вы вроде не хотели изучать, а нужно как минимум дойти до дифференциального исчисления функций $\mathbb R\to\mathbb R^n$.

[realeugene]

frostysh в сообщении #1444989 писал(а):

Разве для разных точек тела эта траектория не будет разной?

Будет, но расстояния между различными точками тела будет сохраняться в любом случае.

[frostysh]

wrest

Да это наверное не то, вот переносим мы ось вращения от центра колеса к его краю, непрерывно во времени, разве такое возможно если колесо непрерывно вращается вокруг ось а ось непрерывно движется к краю колеса?

arseniiv

То есть можно показать, например в случае колеса, что расстояния между точками в теле изменяться не будут? Все таки сложно это представить. В случае колеса и двиганья оси к его краю от центра, разве выйдет вращение не в плоскости колеса? Ну ладно, просто думал тут можно понять попроще, а походу без дифференциального исчисления будет сложновато.
Математический анализ мне не нравится совсем, но я его изучаю ибо нету другого способа понять физику, с математики немного нравятся более абстрактные вещи, очень редко, улитковыми темпами подчитываю логику точней пока теорию множеств, но там мало что понятно...

[arseniiv]

frostysh в сообщении #1445010 писал(а):

То есть можно показать, например в случае колеса, что расстояния между точками в теле изменяться не будут?

Если сначала задать, в какой момент тело мгновенно вращается с какой угловой скоростью в какой плоскости вокруг какой её точки, то да, потом можно будет прямым вычислением найти, что при любой такой функции расстояния между точками будут сохраняться.

frostysh в сообщении #1445010 писал(а):

Ну ладно, просто думал тут можно понять попроще, а походу без дифференциального исчисления будет сложновато.

Вообще наглядные примеры конечно нужны, чтобы понять, что возможно и что имеется в виду. Но дальше разобраться, почему в точности утверждения, которые делают, верны, без теории будет вряд ли возможно.

frostysh в сообщении #1445010 писал(а):

с математики немного нравятся более абстрактные вещи

А матанализ в своём развитии уже давно дошёл до весьма хитрых вещей, просто начинать с $\mathbb R$ и $\mathbb R^n$ наиболее человечно. Если вам сразу дать банаховы пространства какие-нибудь, ну что вы сможете увидеть?

[wrest]

frostysh в сообщении #1445010 писал(а):

То есть можно показать, например в случае колеса, что расстояния между точками в теле изменяться не будут? Все таки сложно это представить

Твердое тело на то и твердое чтоб расстояния между точками не менялись.

[realeugene]

frostysh в сообщении #1445010 писал(а):

То есть можно показать, например в случае колеса, что расстояния между точками в теле изменяться не будут? Все таки сложно это представить.

А какие проблемы? Возьмите в качестве модели твёрдого тела четыре шарика, соединённых шестью спицами в виде тетраэдра. Спицы обеспечивают сохранение относительных расстояний между шариками, делая конструкцию жесткой. Положения четырёх шариков в трёхмерном пространстве описываются 12 степенями свободы. Но спицы накладывают шесть связей. В результате, остаётся шесть степеней свободы, которые можно изменять произвольно и независимо друг от друга, не нарушая жесткие расстояния между шариками. Из них три, например, это координаты центра тетраэдра, а ещё три - это эйлеровы углы.

[frostysh]

arseniiv

Ну а если принять много чего просто так, и грубо в даном конкретном случае использовать математический анализ, получится вообразить как оно там движется? Что такое бахановы пространства не знаю, первый раз слышу, но для интереса поищу информацию, спасибо.

wrest

Хорошо. Но не противоречит ли такое вот эдакое движение этому утверждению? Или я что-то не то печатаю?

realeugene

Хорошо. У нас есть точка $M$ с координатами $\left(x, y\right)$, представляющая некую точку на твердом теле. Оно вращается по окружности с постоянной угловой скоростью $\omega$, вокруг центра $O$ в которым мы и выберем системы отсчета на плоскости. Обращение идет против часовой стрелки. Выберем пару-тройку последовательных моментов времени, таких что разница между ними будет постоянна и равна $\vartriangle \negthickspace t$. Мы смотрим на все это сверху, и ось вращения для нас представляется точкою.



На рисунке $\vartriangle \negthickspace r_{1}$ равняется $\vartriangle \negthickspace r_{2}$, но вообще, наверное оно не должно таким быть. Так вот центр вращения едет в сторону относительно тела, с постоянной скоростью $v_{O}$ и занимает последовательные положения $O_{1}$, $O_{2}$ на оси абсцисс.
Если грубо так взять математический анализ, и примерно представить, выходя из двух движений которые нам известны, это линейное движение центра вращения относительно тела, и вращательное движение по окружности точки на теле, то с чего начать чтобы представить результирующее движение?

[wrest]

frostysh в сообщении #1445309 писал(а):

Хорошо. Но не противоречит ли такое вот эдакое движение этому утверждению? Или я что-то не то печатаю?

Определение "твердого тела" почитайте. А чтобы прочитать то что надо, а не то, что не надо, ищите в Википедии статью "абсолютно твердое тело".

[frostysh]

wrest

Да но мы же двигаем ось вращения относительно твердого тела, а с этой осью жестко связано все что вращается вокруг, таким же жестким механизмом как и точки и расстояния между ними в твердом теле, и вот мне показалось что в случае движение такого вот то внутри твердого тела должны меняться расстояния между точками. Ну ладно, пусть неправильно показалось, но с чего начать чтобы вообразить полегче было?

[wrest]

frostysh в сообщении #1445320 писал(а):

Ну ладно, пусть неправильно показалось, но с чего начать чтобы вообразить полегче было?

Я ж вам писал:

wrest в сообщении #1444993 писал(а):

Ну вот колесо катится по дороге. Можно себе представить, что мгновенная ось проходит через точку контакта колеса и дороги.
Разве в вашей книжке такого примера нет?

[realeugene]

frostysh в сообщении #1445309 писал(а):

Если грубо так взять математический анализ

Не знаю, как это.