Уравнение четвёртой степени в натуральных числах.

[TR63]

Предлагаю решить уравнение четвёртой степени с параметрами в натуральных числах, которое придумала и решила самостоятельно:

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-54)=0$$

$m>n>0$(натуральные)

$m+n=2k$

[nnosipov]

TR63 в сообщении #1445094 писал(а):

Предлагаю решить уравнение четвёртой степени с параметрами в натуральных числах, которое придумала и решила самостоятельно:

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-54)=0$$

$m>n>0$(натуральные)

$m+n=2k$

Это не так интересно, поскольку левая часть факторизуется. Давайте исправим это обстоятельство, заменив в левой части число $54$ на число $2222$, т.е. рассмотрим уравнение

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-2222)=0.$$

Докажите, что при условии $m+n \equiv 0 \pmod{2}$ это уравнение не имеет целочисленных решений.

[TR63]

nnosipov в сообщении #1445102 писал(а):

левая часть факторизуется

Да, факторизуется (школьная идея и очень простая, но я не уверена, что она совпадает с Вашей).

Тогда меня интересует, имеет ли решения уравнение, полученное из моего уравнения при $n=3$ и новом свободном члене, который из старого получить невозможно ни при каком натуральном $(m)$ и $a=(1;...?)$:
$$x^4-13x^2+4(4m+3)x-ay^2=0 $

[nnosipov]

TR63 в сообщении #1445107 писал(а):

Тогда меня интересует, имеет ли решения уравнение, полученное из моего уравнения при $n=3$ и новом свободном члене, который из старого получить невозможно ни при каком натуральном $(m)$ и $a=(1;...?)$:
$$x^4-13x^2+4(4m+3)x-ay^2=0 $

При такой мутной формулировке вряд ли кто-нибудь этим заинтересуется.

[TR63]

nnosipov в сообщении #1445112 писал(а):

При такой мутной формулировке

Хорошо, сформулирую более простую задачу.
Существует ли нечётное $m>3$, при котором уравнение

$$x^4-13x^2+4(4m+3)x-y^2=0 $$

имеет решение в натуральных числах (если задача сложная, то устроит приличный перебор (эксперимент)).

-- 16.03.2020, 14:38 --

nnosipov, приведите, пожалуйста свою факторизацию исходной задачи. (Я полной факторизации не делала, хотя она и возможно, но не обязательна.)

[nnosipov]

TR63 в сообщении #1445114 писал(а):

Существует ли нечётное $m>3$, при котором уравнение

$$x^4-13x^2+4(4m+3)x-y^2=0 $$

имеет решение в натуральных числах (если задача сложная, то устроит приличный перебор (эксперимент)).

Вот это совсем другое дело. Но почему бы Вам не взять компьютер и посмотреть, что там происходит с небольшими значениями $m$, $x$ и $y$?

TR63 в сообщении #1445114 писал(а):

приведите, пожалуйста свою факторизацию исходной задачи

Просто возьмите Maple (например) и разложите левую часть на множители.

[TR63]

nnosipov в сообщении #1445116 писал(а):

Просто возьмите Maple (например) и разложите левую часть на множители.

У меня нет Maple. Я решала руками плюс Вольфрам, не раскладывая на множители.
Ага, Вольфрам разложил. Всё понятно. Спасибо. Но я решала совсем другим способом. И не сказать, что он проще, но даёт возможность генерировать такие уравнения.

nnosipov в сообщении #1445116 писал(а):

Но почему бы Вам не взять компьютер и посмотреть, что там происходит с небольшими значениями $m$, $x$ и $y$?

С небольшими, конечно, посмотрю. Ещё не смотрела.

-- 16.03.2020, 16:11 --

Посмотрела. Встречаются. Вопрос снимается. Переходим к Вашей задаче

nnosipov в сообщении #1445102 писал(а):

заменив в левой части число $54$ на число $2222$, т.е. рассмотрим уравнение

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-2222)=0.$$

Докажите, что при условии $m+n \equiv 0 \pmod{2}$ это уравнение не имеет целочисленных решений

[Dmitriy40]

TR63 в сообщении #1445114 писал(а):

Хорошо, сформулирую более простую задачу.
Существует ли нечётное $m>3$, при котором уравнение

$$x^4-13x^2+4(4m+3)x-y^2=0 $$

имеет решение в натуральных числах (если задача сложная, то устроит приличный перебор (эксперимент)).

Решений полно:

? for(x=1,10^1,for(y=1,10^2,m=(((y^2-x^4+13*x^2)/4/x-3)/4);if(m>3&&round(m)==m&&m%2==1,printf("x=%u, y=%u, m=%u\n",x,y,m))))
x=1, y=12, m=9
x=1, y=20, m=25
x=1, y=28, m=49
x=1, y=36, m=81
x=1, y=44, m=121
x=1, y=52, m=169
x=1, y=60, m=225
x=1, y=68, m=289
x=1, y=76, m=361
x=1, y=84, m=441
x=1, y=92, m=529
x=1, y=100, m=625
x=3, y=36, m=27
x=3, y=60, m=75
x=3, y=84, m=147
x=6, y=42, m=9
x=6, y=54, m=21
x=6, y=90, m=75
x=9, y=96, m=25

[TR63]

Dmitriy40, спасибо. (Но вопрос в том, следовало ли этого ожидать заранее, не проводя эксперимента. Это отдельная задача. Поэтому мы переходим к следующей задаче)

nnosipov в сообщении #1445102 писал(а):

заменив в левой части число $54$ на число $2222$, т.е. рассмотрим уравнение

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-2222)=0.$$

Докажите, что при условии $m+n \equiv 0 \pmod{2}$ это уравнение не имеет целочисленных решений.

[TR63]

[quote="nnosipov в сообщении #1445102"]

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-2222)=0.$$

Докажите, что при условии $m+n \equiv 0 \pmod{2}$ это уравнение не имеет целочисленных решений.

Это уравнение можно переписать в эквивалентном виде

$$[2m-2n+x^2-4x+8+1][2m+2n-(x+4)x-6]=8\cdot271$$

Дальше устно, учитывая свойство: сумма нечётных квадратов не кратна четырём, получим противоречие. Значит решений не существует, т.к. чётными они быть не могут.

Вопрос: если моё решение верно, то как сообразить, что надо представить $2222=54+2168$. Т.е., что надо выделить именно $54$. Уникально ли это число? Или существуют другие числа, пригодные для разложения на множители.

[nnosipov]

TR63
Вы слишком усложняете простую ситуацию (и, как следствие, у Вас возникает много ненужных вопросов). На самом деле после редукции по модулю $4$ мы получаем сравнение

$$x^4+3x^2+2 \equiv 0 \pmod{4},$$

которое не имеет решений. Вот и все.

[TR63]

nnosipov, я в модулях, сравнениях не разбираюсь. Решала по школьному.

nnosipov в сообщении #1445215 писал(а):

возникает много ненужных вопросов

Фломастеры, они разные. Мои вопросы возникли не только относительно Вашей задачи, но и как самостоятельная новая задача:

TR63 в сообщении #1445094 писал(а):

:

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-a)=0$$

$m>n>0$(натуральные)

$m+n=2k$

При каких натуральных положительных $(a)$ возможно разложение на множители с целыми коэффициентами.
(Я эту задачу решала руками, нашла $a=54$. Существуют ли ещё, пока сомневаюсь. Можно поискать перебором, но, вроде, можно решить и аналитически)

[nnosipov]

TR63
Вот Вам задача и на этот сюжет:

(XXIII Кубок памяти Колмогорова) Существует ли многочлен f(x) степени $4$ с целыми коэффициентами такой, что для любого $k \in \mathbb{Z}$ многочлен $g(x)=f(x)+k$ не представляется в виде произведения двух многочленов степени $2$ с целыми коэффициентами?

[TR63]

nnosipov, симпатичная задача. Спасибо.

[TR63]

Раз Вольфрам разложил исходный многочлен на множители (правда, хотелось бы увидеть ручное разложение, которое (ручное) таки не предъявлено, хотя делается в пару строк), то немного усложним исходную задачу.

TR63 в сообщении #1445222 писал(а):

задача:
TR63 в сообщении #1445094

писал(а):
:

$$x^4-(4n+1)x^2+4(4m+3)x-(4m^2+6m-4n^2+30n-a)=0$$

$m>n>0$(натуральные)

$m+n=2k$

При каких натуральных положительных $(a)$ возможно разложение на множители с целыми коэффициентами.
(Я эту задачу решала руками, нашла $a=54$. Существуют ли ещё, пока сомневаюсь. Можно поискать перебором, но, вроде, можно решить и аналитически)

Да, эта задача решается аналитически.

Замечание (подсказка):

(Оффтоп)

Задача с (XXIII Кубок памяти Колмогорова), хотя и симпатична, но я не уверена, что она решается с помощью идеи, которую использую я (это формула решения уравнений четвёртой степени, но не Феррари, выведенная мною самостоятельно; как оказалось, ранее она на этом форуме известна не была; сейчас, по крайней мере частично, известна; причём, выводится не менее чем тремя способами). С помощью этой формулы, предложенная мною задача, решается устно. Т.е., если знать формулу, то обе задачи (моя и задача с (XXIII Кубок памяти Колмогорова) на олимпиадные, по-моему, не тянут, т.к. решаются устно, но интересно, может, есть какой-то другой метод; я даже нечто (идею) видела, но сложнее.