Задача по геометрии

[oleg.k]

Munin в сообщении #1444445 писал(а):

Как найти радиус-вектор точки, находящейся посередине между двумя заданными точками с заданными радиус-векторами?

Полусумма векторов. Т.е. если дан вектор $\overline{AB}$ и $O$ - произвольная точка плоскости, а $C$ - середина $\overline{AB}$, то $\overline{OC} = \frac{1}{2} [\overline{OA} + \overline{OB}]$

-- 12.03.2020, 12:50 --

nnosipov в сообщении #1444447 писал(а):

Посмотреть на него.

Смотрю. Вижу элемент фактормножества по очевидному отношению эквивалентности между векторами. Это просто класс эквивалентности. Просто множество векторов.

nnosipov в сообщении #1444447 писал(а):

Соотнести с тем, что хочется доказать.

Хочется доказать, что в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Для этого достаточно доказать, что $\overline{MO} = \overline{OP}$ и что $\overline{NO} = \overline{OQ}$. Почему $\frac{1}{2}\overline{MP}$ должна совпадать (понятно в каком смысле говорим о совпадении векторов) с $\overline{MO}$ мне непонятно.

nnosipov в сообщении #1444447 писал(а):

Сформулировать рабочую гипотезу.

Уже сформулировал: $\overline{MO} = \overline{OP}$.

nnosipov в сообщении #1444447 писал(а):

Доказать ее.

Не могу. Намекните получше. Я пока вообще не понимаю, в какую сторону думать.

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1444448 писал(а):

Munin в сообщении #1444445 писал(а):

Как найти радиус-вектор точки, находящейся посередине между двумя заданными точками с заданными радиус-векторами?

Полусумма векторов. Т.е. если дан вектор $\overline{AB}$ и $O$ - произвольная точка плоскости, а $C$ - середина $\overline{AB}$, то $\overline{OC} = \frac{1}{2} [\overline{OA} + \overline{OB}]$

Поздравляю, Вы случайно решили свою задачу.

[oleg.k]

nnosipov в сообщении #1444450 писал(а):

Поздравляю, Вы случайно решили свою задачу.

Эмм.... нет. Не решил. Мы же не знаем, что $C$ - середина $AB$. Мы это хотим доказать.

-- 12.03.2020, 12:54 --

Иными словами, в терминах задачи, мы не знаем, что диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам. Мы это хотим доказать. Этим нельзя пользоваться.

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1444452 писал(а):

Мы же не знаем, что $C$ - середина $AB$.

Как это не знаем? Сами же написали:

oleg.k в сообщении #1444448 писал(а):

Т.е. если дан вектор $\overline{AB}$ и $O$ - произвольная точка плоскости, а $C$ - середина $\overline{AB}$, то $\overline{OC} = \frac{1}{2} [\overline{OA} + \overline{OB}]$

Значит, знаем.

Вы все же определитесь, что Вы знаете/умеете, а что нет.

[oleg.k]

oleg.k в сообщении #1444448 писал(а):

Т.е. если дан вектор $\overline{AB}$ и $O$ - произвольная точка плоскости, а $C$ - середина $\overline{AB}$, то $\overline{OC} = \frac{1}{2} [\overline{OA} + \overline{OB}]$

Тот факт, что $C$ - середина $\overline{AB}$ написан до слова "то". А это значит, что он входит в посылку.

-- 12.03.2020, 13:05 --

nnosipov в сообщении #1444454 писал(а):

Значит, знаем.

Нет, не знаем мы этого. Мы это доказываем.

[nnosipov]

Но само-то утверждение верное? Вы умеете его доказывать?

[oleg.k]

nnosipov в сообщении #1444457 писал(а):

Но само-то утверждение верное? Вы умеете его доказывать?

Да, само это утверждение, которое я написал, верное. И доказывать я его умею.

[nnosipov]

Тогда еще раз поздравляю: Вы решили свою задачу.

[oleg.k]

nnosipov в сообщении #1444460 писал(а):

Тогда еще раз поздравляю: Вы решили свою задачу.

Не решил я ее.
Итак,

oleg.k в сообщении #1444150 писал(а):

Дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Точки $M, N, P, Q$ - середины сторон соответственно $AD, AB, BC, CD$. $O$ - точка пересечения $MP$ и $NQ$. Доказать, что прямые $NQ$ и $MP$ точкой пересечения делятся пополам.

Я доказал, что $\overline{NP} = \overline{MQ}$, следовательно $MNPQ$ - параллелограмм. Теперь надо доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$ точкой пересечения $O$ делятся пополам. Мы не знаем, что $O$ - середина диагоналей в параллелограмме $MNPQ$. Мы это доказываем. Для этого достаточно доказать, что $\overline{MO} = \overline{OP}$ и что $\overline{NO} = \overline{OQ}$. Но как доказать то это?

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1444463 писал(а):

Не решил я ее.

Скажем так, Вы не поняли, что Вы ее решили. Бывает. Ну что же, дозревайте.

[oleg.k]

nnosipov в сообщении #1444464 писал(а):

Скажем так, Вы не поняли, что Вы ее решили. Бывает. Ну что же, дозревайте.

Вот Вы все говорите про это утверждение:

oleg.k в сообщении #1444448 писал(а):

Т.е. если дан вектор $\overline{AB}$ и $O$ - произвольная точка плоскости, а $C$ - середина $\overline{AB}$, то $\overline{OC} = \frac{1}{2} [\overline{OA} + \overline{OB}]$

Но как оно к задаче то относится? Мы же им пользоваться не можем. Мы не знаем, что $O$ - середина отрезков $MP$ и $NQ$. Мы это хотим доказать.

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1444465 писал(а):

Мы же им пользоваться не можем.

Ну, что за ерунда: как это мы не можем пользоваться верным утверждением? Более того, не просто верным утверждением, а еще и доказанным Вами.

В общем, дозревайте, а мне работать нужно. Недосуг лясы точить, уж извините.

[eugensk]

oleg.k в сообщении #1444463 писал(а):

Для этого достаточно доказать, что $\overline{MO} = \overline{OP}$ и что $\overline{NO} = \overline{OQ}$. Но как доказать то это?

1) $\overline{MO} = \overline{OP}$,
2) точка $O$ есть середина отрезка $MP$
- это одно и то же, правильно?

Вы доказываете, что середина отрезка $MP$ будет также серединой отрезка $NQ$, правильно?
Ну так поместите $\overline{MO} = \overline{OP}$ в условие, $\overline{NO} = \overline{OQ}$ в заключение теоремы.
Должно всё сразу получиться.

[oleg.k]

nnosipov в сообщении #1444467 писал(а):

Ну, что за ерунда: как это мы не можем пользоваться верным утверждением?

У этого верного утверждения есть посылки и есть следствие. В задаче нету посылок, удовлетворяющих данному утверждению. Поэтому пользоваться этим утверждением нельзя. Порочный круг получается: хотим доказать то, что диагонали точкой пересечения делятся пополам с помощью равенства векторов, которое доказываем с помощью утверждения, содержащего условие, которое и доказываем. Ну очевидно же, что нельзя так.

nnosipov в сообщении #1444467 писал(а):

Недосуг лясы точить, уж извините.

Да не вопрос. Вы бы в ЛС мне написали, я бы все понял. Вобщем, не смею Вас более отвлекать.

-- 12.03.2020, 13:51 --

eugensk в сообщении #1444471 писал(а):

1) $\overline{MO} = \overline{OP}$,
2) точка O есть середина отрезка MP
- это одно и то же, правильно?

Из 1) следует 2), а из 2) следует 1). Утверждения эквивалентны. Если под "одно и то же" понимать эквивалентность утверждений, то да - одно и то же.

eugensk в сообщении #1444471 писал(а):

Вы доказываете, что середина отрезка MP будет также серединой отрезка NQ, правильно?

Я доказываю, что точка пересечения $O$ отрезков $MP$ и $NQ$ является серединой каждого из них.

eugensk в сообщении #1444471 писал(а):

Ну так поместите $\overline{MO} = \overline{OP}$ в условие, $\overline{NO} = \overline{OQ}$ в заключение теоремы.
Должно всё сразу получиться.

А какой теоремы? Не понимаю это место.

[Munin]

oleg.k в сообщении #1444448 писал(а):

Полусумма векторов.

О. Отлично. Ну и проделайте эту операцию шесть раз, ровно как в условиях задачи перечислено.

oleg.k в сообщении #1444472 писал(а):

Я доказываю, что точка пересечения $O$ отрезков $MP$ и $NQ$ является серединой каждого из них.

Сделайте наоборот: середины каждого из этих отрезков являются точкой $O.$

Можно так: найдите середину $O_1$ отрезка $MP.$ Найдите середину $O_2$ отрезка $NQ.$ Внимательно посмотрите на них.