доказать сходимость ряда

[Kornelij]

Доказать сходимость ряда $ \[\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\mathfrak{I} }^{T}}{{M}_{j}}\ldots {{M}_{1}}\mathfrak{I} }\]$, где $\mathfrak{I}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, если

a) ${{M}_{j}}=\frac{1}{5\left( {{x}_{j}}+2 \right)}\left( \begin{matrix} {{x}_{j}}\left( {{x}_{j}}+9 \right) & x_{j}^{2} \\ 35 & 5{{x}_{j}} \\ \end{matrix} \right) $ и $0<{{x}_{j}}<\frac{1}{2},\ j\ge 1;$

б) ${{M}_{j}}=\left( \begin{matrix} \frac{{{x}_{j}}}{5}+\frac{7{{x}_{j+1}}}{5\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} & \frac{{{x}_{j+1}}{{x}_{j}}}{5\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} \\ \frac{7}{\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} & \frac{{{x}_{j}}}{\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} \\ \end{matrix} \right) $ и $0<{{x}_{j}}<1,\ j\ge 1.$

Поскольку матрицы положительные (в смысле все их элементы), то попытаемся оценить их «поэлементно» и показать, что ряд из «мажорант» сходится. Для этого в свою очередь достаточно показать, что модуль наибольшего собственного числа матрицы-мажоранты меньше единицы. Для пункта (а) все получилось:

а) ${{M}_{j}}<\left( \begin{matrix} \frac{19}{50} & \frac{1}{50} \\ \frac{7}{2} & \frac{1}{5} \\ \end{matrix} \right) $ и собственные числа этой «мажоранты» (0.569 и 0.0111) действительно не превосходят 1, откуда делаем вывод о сходимости нашего ряда.

б) А вот для этого пункта собственные числа «мажоранты» ${{M}_{j}}<\left( \begin{matrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{15} \\ 3.5 & 0.5 \\ \end{matrix} \right) $ уже не соответствуют этому условию (1.074 и 0.093). Как быть? Оценка (мажоранта) уже не улучшается, методы для исследования сходимости "обычных" числовых рядов (например, признак Даламбера) тоже не проходят, по крайне мере у меня пока не получилось.

[adfg]

Что за "матрица-мажоранта" смешная такая? Вы возьмите исходную матрицу, найдите её собственные числа как корни квадратного уравнения, затем рассмотрите наибольший корень как функцию двух аргументов, для которой найдите её максимальное значение в заданных пределах аргументов, и покажите что оно меньше 1, вот и всё

[adfg]

кстати я может быть туплю, но что-то не пойму, при чем здесь собственные значения самой исходной матрицы. Ведь если рассматривать её евклидову норму, то считать надо не её собственные числа, а собственные числа её самосопряжённой компоненты. То есть рассматривать новую матрицу ${{A}_{j}}={{M}_{j}}\ast{{M}_{j}}^T$, и вычисление собственных чисел проводить уже для этой, а не для исходной матрицы

[Kornelij]

adfg в сообщении #1443996 писал(а):

Что за "матрица-мажоранта" смешная такая? Вы возьмите исходную матрицу, найдите её собственные числа как корни квадратного уравнения, затем рассмотрите наибольший корень как функцию двух аргументов, для которой найдите её максимальное значение в заданных пределах аргументов, и покажите что оно меньше 1, вот и всё

Почему смешная? Если каждую матрицу в произведении заменить на эту мажоранту, то произведение превратится в степень этой матрицы, а если ее представить в виде $M=S D S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D$ на диагонали стоят собственные числа мажоранты, то степень мажоранты превратится в $M^n=S D^{(n)} S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D^{(n)}$ на диагонали стоят степени собственных чисел мажоранты, т.е. исходный ряд превращается в сумму геометрической прогрессии (точнее двух). А что даст оценка собственных чисел всех матриц $M_j$? Если все они меньше единицы, то как после этого обосновать сходимость ряда?

adfg в сообщении #1444001 писал(а):

кстати я может быть туплю, но что-то не пойму, при чем здесь собственные значения самой исходной матрицы. Ведь если рассматривать её евклидову норму, то считать надо не её собственные числа, а собственные числа её самосопряжённой компоненты. То есть рассматривать новую матрицу ${{A}_{j}}={{M}_{j}}\ast{{M}_{j}}^T$, и вычисление собственных чисел проводить уже для этой, а не для исходной матрицы

А норма для чего здесь может пригодится? И для чего нужны матрицы $A_j$?

[adfg]

Kornelij писал(а):

Почему смешная? Если каждую матрицу в произведении заменить на эту мажоранту, то произведение превратится в степень этой матрицы, а если ее представить в виде $M=S D S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D$ на диагонали стоят собственные числа мажоранты, то степень мажоранты превратится в $M^n=S D^{(n)} S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D^{(n)}$ на диагонали стоят степени собственных чисел мажоранты, т.е. исходный ряд превращается в сумму геометрической прогрессии (точнее двух).

Ясно. Теперь вижу, что Вы используете разложение Жордана, это хороший путь, я просто изначально думал о другой идее. Тогда эта "мажоранта" всем хороша, единственный её недостаток - слишком грубо тут оценивает матрицу. Если смотреть исходную матрицу, можно заметить, что сумма её собственных чисел, которая равна сумме диагональных элементов, не превосходит 1, и равна 1 только на границе - при $x_{j}=1$ и $x_{j+1}=0$ либо $x_{j+1}=1$. Так что подставить $x_{j}=1$ в матрицу может, и хорошая идея, но когда подставляете $x_{j+1}$, то в разные элементы матрицы подставляете разные числа, из-за чего результат и портится

Kornelij писал(а):

А что даст оценка собственных чисел всех матриц $M_j$? Если все они меньше единицы, то как после этого обосновать сходимость ряда? А норма для чего здесь может пригодится? И для чего нужны матрицы $A_j$?

Оценка собственных чисел матрицы $M_j$ сама по себе ничего не даст, тут я ошибся (если конечно не выписывать целиком разложение Жордана). Что касается остального, я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: $\left\langle{Bx,y}\right\rangle\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{x}\right\rVert\left\lVert{y}\right\rVert$, где $\left\lVert{B}\right\rVert$ - операторная норма со свойством мультипликативности, то есть для неё в свою очередь справедлива оценка: $\left\lVert{BC}\right\rVert\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{C}\right\rVert$ для любых матриц $B,C$. Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
$\left\lVert{B}\right\rVert=\sqrt\lambda_{max}$, где $\lambda_{max}$ - максимальное собственное число матрицы $BB^{T}$

Но я не убеждён, что эта идея подойдёт сама по себе, здесь возможно придётся собрать вместе несколько идей - Вашу с жорданом, и эту, надо пробовать

[Kornelij]

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: $\left\langle{Bx,y}\right\rangle\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{x}\right\rVert\left\lVert{y}\right\rVert$, где $\left\lVert{B}\right\rVert$ - операторная норма со свойством мультипликативности

adfg, а чем из исходной суммы в Ваших обозначениях будут $x$ и $y$?

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
$\left\lVert{B}\right\rVert=\sqrt\lambda_{max}$, где $\lambda_{max}$ - максимальное собственное число матрицы $BB^{T}$

А где можно почитать про эту норму и ее свойства? Это эта норма называется спектральной? Или я что-то путаю?

[adfg]

вообще должен сказать, что решить это так и не смог, так что не знаю насколько это хороший путь, но я пытался делать так. В исходной матрице сперва положить $x_{j}=1$, и пытаться рассматривать каждую матрицу от одной переменной: $M_{j}=M_{j}(x_{j+1})$ Затем выписать разложение Жордана для каждой матрицы: $M_{j}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})D_{j}(x_{j+1})S^{-1}_{j}(x_{j+1})$, то есть найти все собственные числа и собственные вектора. Далее уже видно, что собственные числа оба меньше единицы. И затем уже рассмотреть новую матрицу, перемножая сопровождающие матрицы соседних представлений: $S^{-1}_{j}(x_{j+1})S_{j-1}(x_{j})$, и её уже пытаться оценивать

Я вначале перепутал и перемножил эти сопровождающие матрицы в обратном порядке, получил очень красивые верхнетреугольные матрицы, которые очень быстро перемножились чисто алгебраически, и все элементы устремились к нулю. Но когда заметил ошибку и перемножил их в правильном порядке, получились довольно сложные выражения, которые я стал оценивать через матричные нормы, но быстрого и красивого решения не нашлось, а считать к тому моменту уже надоело, так что я устал и забросил вычисления, поэтому даже не знаю, получится ли таким путём решение или нет. Возможно, что и нет. И даже если получится, быстрым оно не будет

Kornelij в сообщении #1447842 писал(а):

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: $\left\langle{Bx,y}\right\rangle\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{x}\right\rVert\left\lVert{y}\right\rVert$, где $\left\lVert{B}\right\rVert$ - операторная норма со свойством мультипликативности

adfg, а чем из исходной суммы в Ваших обозначениях будут $x$ и $y$?

$x$ и $y$ - в данных обозначениях вектор $(1,1)$, то есть не играющая никакой роли константа

Kornelij в сообщении #1447842 писал(а):

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
$\left\lVert{B}\right\rVert=\sqrt\lambda_{max}$, где $\lambda_{max}$ - максимальное собственное число матрицы $BB^{T}$

А где можно почитать про эту норму и ее свойства? Это эта норма называется спектральной? Или я что-то путаю?

здесь используется только одно её свойство: $\left\lVert{BC}\right\rVert\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{C}\right\rVert$. К тому же норму не обязательно брать спектральную, достаточно любую операторную, то есть такую, чтобы данные оценки для неё были справедливы. Например, годится и максимум суммы модулей элементов по строчкам, или например, максимум суммы модулей элементов по столбцам. Любая удобная подойдёт. Если конечно, она вообще здесь нужна. Может можно и без норм обойтись, может задача имеет чисто алгебраическое решение, ничего нельзя исключать

[adfg]

в общем, до меня вдруг дошло сегодня как это решать. Решается вашим же способом, без всяких норм. Исходная матрица переписывается в произведение двух матриц:
${{M}_{j}}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{5} & \frac{{x}_{j+1}}{5\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} \\ 0 & \frac{1}{\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_{j} & 0 \\ 7 & x_{j} \\ \end{matrix} \right) $
Далее перемножаем эти же матрицы в обратном порядке для соседних множителей, получаем в итоге произведение матриц уже от одной переменной. А те в свою очередь уже можно "мажорировать" вашим способом, собственные числа там будут оба меньше единицы, и далее по вашей схеме через произведение жордановых представлений. В общем, хитрое решение, сразу не догадаешься....