2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 доказать сходимость ряда
Сообщение10.03.2020, 00:00 
Аватара пользователя


01/05/10
151
Доказать сходимость ряда $ \[\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\mathfrak{I} }^{T}}{{M}_{j}}\ldots {{M}_{1}}\mathfrak{I} }\]$, где $\mathfrak{I}=\begin{pmatrix}
 1 \\
 1 
\end{pmatrix}$, если

a) ${{M}_{j}}=\frac{1}{5\left( {{x}_{j}}+2 \right)}\left( \begin{matrix}
   {{x}_{j}}\left( {{x}_{j}}+9 \right) & x_{j}^{2}  \\
   35 & 5{{x}_{j}}  \\
\end{matrix} \right)
$ и $0<{{x}_{j}}<\frac{1}{2},\ j\ge 1;$

б) ${{M}_{j}}=\left( \begin{matrix}
   \frac{{{x}_{j}}}{5}+\frac{7{{x}_{j+1}}}{5\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} & \frac{{{x}_{j+1}}{{x}_{j}}}{5\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)}  \\
   \frac{7}{\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)} & \frac{{{x}_{j}}}{\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)}  \\
\end{matrix} \right)
$ и $0<{{x}_{j}}<1,\ j\ge 1.$

Поскольку матрицы положительные (в смысле все их элементы), то попытаемся оценить их «поэлементно» и показать, что ряд из «мажорант» сходится. Для этого в свою очередь достаточно показать, что модуль наибольшего собственного числа матрицы-мажоранты меньше единицы. Для пункта (а) все получилось:

а) ${{M}_{j}}<\left( \begin{matrix}
   \frac{19}{50} & \frac{1}{50}  \\
   \frac{7}{2} & \frac{1}{5}  \\
\end{matrix} \right) $ и собственные числа этой «мажоранты» (0.569 и 0.0111) действительно не превосходят 1, откуда делаем вывод о сходимости нашего ряда.

б) А вот для этого пункта собственные числа «мажоранты» ${{M}_{j}}<\left( \begin{matrix}
   \frac{2}{3} & \frac{1}{15}  \\
   3.5 & 0.5  \\
\end{matrix} \right) $ уже не соответствуют этому условию (1.074 и 0.093). Как быть? Оценка (мажоранта) уже не улучшается, методы для исследования сходимости "обычных" числовых рядов (например, признак Даламбера) тоже не проходят, по крайне мере у меня пока не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать сходимость ряда
Сообщение10.03.2020, 06:48 


08/08/16
50
Что за "матрица-мажоранта" смешная такая? Вы возьмите исходную матрицу, найдите её собственные числа как корни квадратного уравнения, затем рассмотрите наибольший корень как функцию двух аргументов, для которой найдите её максимальное значение в заданных пределах аргументов, и покажите что оно меньше 1, вот и всё :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать сходимость ряда
Сообщение10.03.2020, 08:59 


08/08/16
50
кстати я может быть туплю, но что-то не пойму, при чем здесь собственные значения самой исходной матрицы. Ведь если рассматривать её евклидову норму, то считать надо не её собственные числа, а собственные числа её самосопряжённой компоненты. То есть рассматривать новую матрицу ${{A}_{j}}={{M}_{j}}\ast{{M}_{j}}^T$, и вычисление собственных чисел проводить уже для этой, а не для исходной матрицы

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать сходимость ряда
Сообщение10.03.2020, 23:26 
Аватара пользователя


01/05/10
151
adfg в сообщении #1443996 писал(а):
Что за "матрица-мажоранта" смешная такая? Вы возьмите исходную матрицу, найдите её собственные числа как корни квадратного уравнения, затем рассмотрите наибольший корень как функцию двух аргументов, для которой найдите её максимальное значение в заданных пределах аргументов, и покажите что оно меньше 1, вот и всё :-)

Почему смешная? Если каждую матрицу в произведении заменить на эту мажоранту, то произведение превратится в степень этой матрицы, а если ее представить в виде $M=S D S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D$ на диагонали стоят собственные числа мажоранты, то степень мажоранты превратится в $M^n=S D^{(n)} S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D^{(n)}$ на диагонали стоят степени собственных чисел мажоранты, т.е. исходный ряд превращается в сумму геометрической прогрессии (точнее двух). А что даст оценка собственных чисел всех матриц $M_j$? Если все они меньше единицы, то как после этого обосновать сходимость ряда?

adfg в сообщении #1444001 писал(а):
кстати я может быть туплю, но что-то не пойму, при чем здесь собственные значения самой исходной матрицы. Ведь если рассматривать её евклидову норму, то считать надо не её собственные числа, а собственные числа её самосопряжённой компоненты. То есть рассматривать новую матрицу ${{A}_{j}}={{M}_{j}}\ast{{M}_{j}}^T$, и вычисление собственных чисел проводить уже для этой, а не для исходной матрицы

А норма для чего здесь может пригодится? И для чего нужны матрицы $A_j$?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать сходимость ряда
Сообщение11.03.2020, 01:51 


08/08/16
50
Kornelij писал(а):
Почему смешная? Если каждую матрицу в произведении заменить на эту мажоранту, то произведение превратится в степень этой матрицы, а если ее представить в виде $M=S D S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D$ на диагонали стоят собственные числа мажоранты, то степень мажоранты превратится в $M^n=S D^{(n)} S^{-1}$, где у диагональной матрицы $D^{(n)}$ на диагонали стоят степени собственных чисел мажоранты, т.е. исходный ряд превращается в сумму геометрической прогрессии (точнее двух).
Ясно. Теперь вижу, что Вы используете разложение Жордана, это хороший путь, я просто изначально думал о другой идее. Тогда эта "мажоранта" всем хороша, единственный её недостаток - слишком грубо тут оценивает матрицу. Если смотреть исходную матрицу, можно заметить, что сумма её собственных чисел, которая равна сумме диагональных элементов, не превосходит 1, и равна 1 только на границе - при $x_{j}=1$ и $x_{j+1}=0$ либо $x_{j+1}=1$. Так что подставить $x_{j}=1$ в матрицу может, и хорошая идея, но когда подставляете $x_{j+1}$, то в разные элементы матрицы подставляете разные числа, из-за чего результат и портится
Kornelij писал(а):
А что даст оценка собственных чисел всех матриц $M_j$? Если все они меньше единицы, то как после этого обосновать сходимость ряда? А норма для чего здесь может пригодится? И для чего нужны матрицы $A_j$?
Оценка собственных чисел матрицы $M_j$ сама по себе ничего не даст, тут я ошибся (если конечно не выписывать целиком разложение Жордана). Что касается остального, я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: $\left\langle{Bx,y}\right\rangle\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{x}\right\rVert\left\lVert{y}\right\rVert$, где $\left\lVert{B}\right\rVert$ - операторная норма со свойством мультипликативности, то есть для неё в свою очередь справедлива оценка: $\left\lVert{BC}\right\rVert\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{C}\right\rVert$ для любых матриц $B,C$. Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
$\left\lVert{B}\right\rVert=\sqrt\lambda_{max}$, где $\lambda_{max}$ - максимальное собственное число матрицы $BB^{T}$

Но я не убеждён, что эта идея подойдёт сама по себе, здесь возможно придётся собрать вместе несколько идей - Вашу с жорданом, и эту, надо пробовать

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать сходимость ряда
Сообщение28.03.2020, 11:35 
Аватара пользователя


01/05/10
151
adfg в сообщении #1444247 писал(а):
я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: $\left\langle{Bx,y}\right\rangle\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{x}\right\rVert\left\lVert{y}\right\rVert$, где $\left\lVert{B}\right\rVert$ - операторная норма со свойством мультипликативности

adfg, а чем из исходной суммы в Ваших обозначениях будут $x$ и $y$?

adfg в сообщении #1444247 писал(а):
Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
$\left\lVert{B}\right\rVert=\sqrt\lambda_{max}$, где $\lambda_{max}$ - максимальное собственное число матрицы $BB^{T}$

А где можно почитать про эту норму и ее свойства? Это эта норма называется спектральной? Или я что-то путаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать сходимость ряда
Сообщение29.03.2020, 08:28 


08/08/16
50
вообще должен сказать, что решить это так и не смог, так что не знаю насколько это хороший путь, но я пытался делать так. В исходной матрице сперва положить $x_{j}=1$, и пытаться рассматривать каждую матрицу от одной переменной: $M_{j}=M_{j}(x_{j+1})$ Затем выписать разложение Жордана для каждой матрицы: $M_{j}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})D_{j}(x_{j+1})S^{-1}_{j}(x_{j+1})$, то есть найти все собственные числа и собственные вектора. Далее уже видно, что собственные числа оба меньше единицы. И затем уже рассмотреть новую матрицу, перемножая сопровождающие матрицы соседних представлений: $S^{-1}_{j}(x_{j+1})S_{j-1}(x_{j})$, и её уже пытаться оценивать

Я вначале перепутал и перемножил эти сопровождающие матрицы в обратном порядке, получил очень красивые верхнетреугольные матрицы, которые очень быстро перемножились чисто алгебраически, и все элементы устремились к нулю. Но когда заметил ошибку и перемножил их в правильном порядке, получились довольно сложные выражения, которые я стал оценивать через матричные нормы, но быстрого и красивого решения не нашлось, а считать к тому моменту уже надоело, так что я устал и забросил вычисления, поэтому даже не знаю, получится ли таким путём решение или нет. Возможно, что и нет. И даже если получится, быстрым оно не будет

Kornelij в сообщении #1447842 писал(а):
adfg в сообщении #1444247 писал(а):
я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: $\left\langle{Bx,y}\right\rangle\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{x}\right\rVert\left\lVert{y}\right\rVert$, где $\left\lVert{B}\right\rVert$ - операторная норма со свойством мультипликативности

adfg, а чем из исходной суммы в Ваших обозначениях будут $x$ и $y$?
$x$ и $y$ - в данных обозначениях вектор $(1,1)$, то есть не играющая никакой роли константа
Kornelij в сообщении #1447842 писал(а):
adfg в сообщении #1444247 писал(а):
Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
$\left\lVert{B}\right\rVert=\sqrt\lambda_{max}$, где $\lambda_{max}$ - максимальное собственное число матрицы $BB^{T}$

А где можно почитать про эту норму и ее свойства? Это эта норма называется спектральной? Или я что-то путаю?
здесь используется только одно её свойство: $\left\lVert{BC}\right\rVert\leqslant\left\lVert{B}\right\rVert\left\lVert{C}\right\rVert$. К тому же норму не обязательно брать спектральную, достаточно любую операторную, то есть такую, чтобы данные оценки для неё были справедливы. Например, годится и максимум суммы модулей элементов по строчкам, или например, максимум суммы модулей элементов по столбцам. Любая удобная подойдёт. Если конечно, она вообще здесь нужна. Может можно и без норм обойтись, может задача имеет чисто алгебраическое решение, ничего нельзя исключать

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать сходимость ряда
Сообщение30.03.2020, 07:52 


08/08/16
50
в общем, до меня вдруг дошло сегодня как это решать. Решается вашим же способом, без всяких норм. Исходная матрица переписывается в произведение двух матриц:
${{M}_{j}}=\left( \begin{matrix}
  \frac{1}{5} & \frac{{x}_{j+1}}{5\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)}  \\
   0 & \frac{1}{\left( {{x}_{j+1}}+2 \right)}  \\
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
  x_{j} & 0  \\
   7 & x_{j}  \\
\end{matrix} \right)
$
Далее перемножаем эти же матрицы в обратном порядке для соседних множителей, получаем в итоге произведение матриц уже от одной переменной. А те в свою очередь уже можно "мажорировать" вашим способом, собственные числа там будут оба меньше единицы, и далее по вашей схеме через произведение жордановых представлений. В общем, хитрое решение, сразу не догадаешься....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group