Пересечение трёх прямых в одной точке

[misha.physics]

Здравствуйте. В книге "Кочин. Н. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (1965)" есть Задача 12 (стр. 21).

Найти соотношение между шестью отрезками $AM$, $MB$, $BK$, $KC$, $CL$, $LA$, которое должно выполняться для того, чтобы три прямые $AK$, $BL$, $CM$, соединяющие вершины треугольника $ABC$ с противоположными сторонами, пересекались в одной точке $P$.



Далее получается требуемое условие

$$BK\cdot CL\cdot AM=KC\cdot LA\cdot MB\ \ \ \ \ \ (33)$$

К этому месту понятно. Дальше говориться (и это как раз непонятно):

Это условие является и достаточным условием пересечения прямых $AK$, $BL$, $CM$, так как если обозначить через $P$ точку пересечения прямых $AK$ и $BL$, то прямая $CP$ должна, согласно предыдущему, пересечь $AB$ в такой точке $M'$, для которой

$$\frac{AM'}{M'B}=\frac{KC\cdot LA}{BK\cdot CL}$$

Но если выполняется условие (33), то мы имеем

$$\frac{AM}{MB}=\frac{KC\cdot LA}{BK\cdot CL}$$

и, следовательно, точки $M'$ и $M$ должны совпасть.
------------------------------
Насколько я понимаю, мы пришли к условию (33) предполагая, что три прямые (для краткости я не буду их явно указывать) пересекаются в одной точке. То есть, условие (33) является необходимым для такого пересечения. Когда же мы говорим об "достаточности", то, по-моему, мы должны были бы сказать, что если выполняется условие (33), то соответствующие прямые пересекаются в одной точке. Но когда мы говорим "...то прямая $CP$ должна, согласно предыдущему, пересечь $AB$ в такой точке $M'$, для которой...", то мы уже здесь используем тот факт, что если три прямые пересекаются в одной точке, то будет выполняться условие (33). Но мы тут использовали "необходимость" утверждения. Разве доказательство достаточности утверждения не должно быть независимым от "необходимости"? Вторая часть доказательства достаточности мне понятна, а первая - нет.

Здесь получается как бы, что доказательство достаточности сводиться к тому, что мы рассмотрели две разные вначале точки $M'$ и $M$, потом сказали, что они обе являются точками пересечения двух прямых ($CP$ и $AB$), применили к ним условие (33) (чтобы в точке $P$ также пересекались $AK$ и $BL$) и получили, что это одна и та же точка (что итак понятно, так как если две прямые пересекаются, то только в одной точке).

[pogulyat_vyshel]

Вводим на плоскости систему координат $A,\boldsymbol{AC},\boldsymbol{AB}$ выписываем параметрические уравнения соответствующих прямых, выписываем условие пересечения в одной точке, получаем систему 6 линейных уравнений с 3 неизвестными, находим условия совместности, радуемся

[svv]

misha.physics в сообщении #1443590 писал(а):

Но мы тут использовали "необходимость" утверждения. Разве доказательство достаточности утверждения не должно быть независимым от "необходимости"?

Нет. Если мы уже доказали необходимость, почему бы этим не воспользоваться?

[vpb]

Утверждение (пресловутая теорема Чевы). Если $K,L,M$ --- точки на сторонах $BC$, $AC$, $AB$ треугольника $ABC$, то прямые $AK$, $BL$, $CM$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$$\frac{BK}{KC}\cdot\frac{CL}{LA}\cdot\frac{AM}{MB}=1.$$

Доказательство. Вы уже поняли, что если они пересекаются, то это соотношение выполнено. Допустим обратное: пусть соотношение выполнено. Пусть $P'$ --- точка пересечения отрезков $AK$ и $BL$, и пусть $M'$ --- точка пересечения прямой $CP'$ со стороной $AB$. Поскольку прямые $AK$, $BL$, $CM'$ пересекаются в одной точке (а именно в $P'$), то

$$\frac{BK}{KC}\cdot\frac{CL}{LA}\cdot\frac{AM'}{M'B}=1.$$

Но из последнего соотношения, и из соотношения

$$\frac{BK}{KC}\cdot\frac{CL}{LA}\cdot\frac{AM}{MB}=1$$

(которое мы предполагаем выполненным), тотчас следует, что

$$\frac{AM'}{M'B}=\frac{AM}{MB}.$$

А отсюда в свою очередь --- что $M=M'$. Тем самым прямые $AK$, $BL$, $CM$ пересекаются в одной точке. $\square$

[nnosipov]

vpb в сообщении #1443599 писал(а):

пресловутая теорема Чевы

Дык, что же еще. Небось в "Новых встречах с геометрией" Коксетера и Грейтцера есть.

[vpb]

nnosipov в сообщении #1443605 писал(а):

Небось в "Новых встречах с геометрией" Коксетера и Грейтцера есть.

Есть, прямо где-то на третьей странице основного текста. Так что можно было сослаться просто. Но я так давно её читал-разбирал, что нынче забыл всё буквально подчистую. (И вообще там такие изящные тонкости, что у меня нынешнего от них аж волос дыбом встает.)

[misha.physics]

Спасибо, разобрался. svv, ой, действительно, если мы доказали "необходимость", то ею можно воспользоваться (на то она и "необходимость" что будет с необходимостью выполняться если соблюдены некоторые условия). Честно говоря, я после написания стартового поста начал об этом думать, но вы меня опередили :) То есть, условие (33) должно обязательно выполняться если соответствующие три прямые пересекаются в одной точке. Итак, пусть выполняется

$$\frac{AM}{MB}=\frac{KC\cdot LA}{BK\cdot CL}$$

Нужно доказать, что прямые $AK$, $BL$, $CM$ пересекаются в одной точке. Пусть $AK$ и $BL$ пересекаются в точке $P$ и пусть точка $M'$ есть пересечение $CP$ и $AB$. Поскольку $AK$, $BL$ и $CM'$ пересекаются в одной точке $P$, то согласно необходимости, должно быть

$$\frac{AM'}{M'B}=\frac{KC\cdot LA}{BK\cdot CL}$$

Значит, точка $M$ совпадает с точкой $M'$, и поскольку прямые $AK$, $BL$, $CM'$ пересекаются в одной точке, то и прямые $AK$, $BL$, $CM$ пересекаются в одной точке. Доказано. По сути, я сейчас повторил то, что написано в книге, и то, что говорил vpb, просто я переставил это в более понятном для меня порядке.

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1443595 писал(а):

Вводим на плоскости систему координат $A,\boldsymbol{AC},\boldsymbol{AB}$ выписываем параметрические уравнения соответствующих прямых, выписываем условие пересечения в одной точке, получаем систему 6 линейных уравнений с 3 неизвестными, находим условия совместности, радуемся

Подумаю, позже напишу, что получилось.

[misha.physics]

В системе координат $A$, $\boldsymbol{AC}$, $\boldsymbol{AB}$ прямую $AK$ можно задать векторным уравнением для радиус-вектора точки прямой $AK$: $\boldsymbol{r}_{AK}=\alpha\boldsymbol{l}$, где $\alpha$ - число, $\boldsymbol{l}$ - направляющий вектор, но как найти компоненты последнего вектора в данной системе координат? Или по-другому нужно?

[pogulyat_vyshel]

Прямая $AK$ задается уравнением

$$\boldsymbol r_{AK}=t(x\boldsymbol{AC}+(1-x)\boldsymbol{AB}),$$

где $t$ -- параметр на прямой; $x$ -- параметр, характеризующий отношение $CK/CB$.

$$\boldsymbol r_{BL}=\boldsymbol{AB}+s(-y\boldsymbol{AB}+(1-y)(\boldsymbol{AC}-\boldsymbol{AB})),\quad \boldsymbol r_{CM}=\boldsymbol{AC}+u(-z\boldsymbol{AC}+(1-z)(\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{AC}))$$

система линейных уравнений относительно $t,s,u:$

$$\boldsymbol r_{AK}=\boldsymbol r_{BL},\quad \boldsymbol r_{BL}=\boldsymbol r_{CM},\quad \boldsymbol r_{CM}=\boldsymbol r_{AK} $$

условия разрешимости этой системы описываются в терминах $x,y,z$

[misha.physics]

pogulyat_vyshel,
Итак, уравнения прямых

$$\boldsymbol{r}_{AK}=\alpha[x\boldsymbol{AC}+(1-x)\boldsymbol{AB}]$$

$$\boldsymbol{r}_{BL}=\boldsymbol{AB}+\beta[-y\boldsymbol{AB}+(1-y)(\boldsymbol{AC}-\boldsymbol{AB})]$$

$$\boldsymbol{r}_{CM}=\boldsymbol{AC}+\gamma[-z\boldsymbol{AC}+(1-z)(\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{AC})]$$

$$x=\frac{BK}{BC},\ \ \ y=\frac{CL}{CA},\ \ \ z=\frac{BM}{BA}$$

$$\frac{1}{x}=1+\frac{KC}{BK},\ \ \ \frac{1}{y}=1+\frac{LA}{CL},\ \ \ \frac{1}{z}=1+\frac{AM}{MB}$$

Получаем шесть скалярных уравнений - условий пересечения трёх прямых в одной точке, два из них выбрасываем (их можно получить из двух других), остается четыре

$$\alpha x=\beta(1-y)$$

$$\alpha x=1-\gamma$$

$$\alpha x=\alpha-1+\beta$$

$$\alpha x=\alpha-\gamma(1-z)$$

Мы хотим получить условие на $x,y,z$ для того чтобы существовало решение для $\alpha,\beta,\gamma$. Была у меня идея об приравнивании определителя системы к нулю, но у нас тут система неоднородная да и на одно уравнение больше чем нужно.

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1443811 писал(а):

выбрасываем (их можно получить из двух других), остается четыре

ну раз так, то надо определитель расширенной матрицы к нулю приравнять -- это необходимое условие, по-видимому оно же и достаточное

[misha.physics]

pogulyat_vyshel, спасибо, получилось. Определитель расширенной матрицы, составленный из любых четырёх уравнений системы должен равняться нулю. Получаем условие

$$xy-z+xz+yz-2xyz=0$$

Переходя к другим терминам получаем соотношение (33).

[Munin]

Чтобы выключная формула занимала меньше места по вертикали, после неё можно убрать перенос строки (это известный глюк форума, который не исправляется много лет из-за исторических причин). Похоже, этим не пользуются ни misha.physics, ни vpb, ни pogulyat_vyshel.

В этой задаче, мне кажется, удобней использовать уравнения прямой "в отрезках". $(\xi,\eta)$ - координаты точки в системе координат $A,\boldsymbol{AC},\boldsymbol{AB}$ (остальные буквы вы заняли), тогда

$\begin{cases} \dfrac{\xi}{1-y} + \eta = 1 \\ \xi + \dfrac{\eta}{1-z} = 1 \\ \dfrac{\xi}{x} - \dfrac{\eta}{1-x} = 0 \\ \end{cases}$

и определитель нужен $3\times 3$:

$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{(1-x)(1-y)} - \dfrac{1}{x(1-z)}=0$

$$-z(1-x)(1-y)+yx(1-z)=0\qquad\mathrm{qed}$$

[misha.physics]

Munin, у вас там случайно в уравнениях не пропущены длины векторов $\boldsymbol{AB}$ и $\boldsymbol{AC}$? Разложение радиус-вектора точки прямой в системе координат $A,\boldsymbol{AB},\boldsymbol{AC}$ я записывал как

$$\boldsymbol{r}=\xi\frac{\boldsymbol{AC}}{AC}+\eta\frac{\boldsymbol{AB}}{AB}$$

Уравнения у меня получились очень похожие на ваши, но содержат ещё $AB$ и $AC$. Последнее ваше уравнение в доказательстве совпадает с выше написанным моим, но предпоследнее к нему не приводит.

-- 10 мар 2020, 00:30 --

Munin,

Munin в сообщении #1443869 писал(а):

(остальные буквы вы заняли)

А в каком смысле? (Не могу догадаться)

[Munin]

misha.physics в сообщении #1443978 писал(а):

Разложение радиус-вектора точки прямой в системе координат $A,\boldsymbol{AB},\boldsymbol{AC}$ я записывал как

$$\boldsymbol{r}=\xi\frac{\boldsymbol{AC}}{AC}+\eta\frac{\boldsymbol{AB}}{AB}$$

Ну что вы, достаточно $\boldsymbol{r}=\xi\boldsymbol{AC}+\eta\boldsymbol{AB}.$
Такая система координат будет аффинным преобразованием от прямоугольной декартовой, в которой треугольник имеет вершины $(0,0),(0,1),(1,0).$ А в старой доброй системе координат записать пересечение трёх прямых в одной точке - школьная задачка.

misha.physics в сообщении #1443978 писал(а):

А в каком смысле? (Не могу догадаться)

Ну вы уже использовали буквы из конца латинского алфавита, из начала греческого, приходится искать, что бы ещё взять. Чтобы не пересекаться с вами по обозначениям в одной теме.

-- 10.03.2020 02:17:59 --

Munin в сообщении #1443984 писал(а):

Ну что вы, достаточно $\boldsymbol{r}=\xi\boldsymbol{AC}+\eta\boldsymbol{AB}.$

Впрочем, определитель от этого не меняется. Надо только его рассматривать как СЛАУ для неизвестных $\xi/AC,\eta/AB.$