Ряд

[Vladonpw]

Дан ряд:
$\sum\limits_{k=1}^{n}e^{\frac{2 \cdot \pi \cdot i \cdot a \cdot k}{n}}$
Для всех целых чисел $a$ необходимо вычислить сумму.
Я исходил из равенства Эйлера, что $e^{\pi i}=-1$, потом учел квадрат, получил $\sum\limits_{k=1}^{n}1^{\frac{a \cdot k}{n}}=n $
Загуглил тождество Эйлера, обнаружил там обобщенный вариант подобной суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}e^{\frac{2 \cdot \pi \cdot i \cdot k}{n}}=0$ и начал сомневаться в своем решении. Допустил ли я ошибки какие-то?

[mihaild]

Vladonpw в сообщении #1443250 писал(а):

$e^{\pi i}=-1$, потом учел квадрат

В комплексных числах равенство $e^{ab} = (e^a)^b$ для не-целых $b$ не работает. Точнее там нужно правильно выбирать корень - выражение $1^\frac{1}{3}$ имеет $3$ значения, а не одно.
Здесь вы можете воспользоваться тем что для целых $b$ оно всё-таки работает (но только за счет основания экспоненты; если $e$ заменить на произвольное число, то перестанет), и воспользоваться суммой геометрической прогрессии.

[Vladonpw]

mihaild в сообщении #1443251 писал(а):

воспользоваться суммой геометрической прогрессии.

То есть начальный член $b_1=e^{\frac{2 a \pi i}{n}}$

$q=e^{\frac{2 a \pi i}{n}}$

$q^{n-1}=e^{2 a \pi i \cdot(n-1)/n}=e^{2 \pi i a} \cdot e^{-\frac{2 \pi i a}{n}}=1 \cdot e^{-\frac{2 \pi i a}{n}}$

$S = \frac{b_1(q^{n-1}-1)}{q-1} = \frac{e^{\frac{2 a \pi i}{n}} \cdot (e^{-\frac{2 \pi i a}{n}}-1)}{e^{\frac{2 a \pi i}{n}}-1} = \frac{1-e^{\frac{2 a \pi i}{n}}}{e^{\frac{2 a \pi i}{n}}-1}=-1$

[svv]

Vladonpw в сообщении #1443268 писал(а):

$S = \frac{b_1(q^{n{\color{magenta}-1}}-1)}{q-1}$

[Vladonpw]

svv в сообщении #1443290 писал(а):

Vladonpw в сообщении #1443268

писал(а):
$S = \frac{b_1(q^{n{\color{magenta}-1}}-1)}{q-1}$

Ошибка, сначала верно с $q^{n}$ написал, получилось 0 в ответе, потом исправил на неверное, соответственно, получил -1.
Ответ итоговый 0

[svv]

Это уже лучше.
Вопрос: всегда ли выражение $\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ имеет смысл? Когда нет? Что тогда делать?

[Vladonpw]

svv в сообщении #1443305 писал(а):

Вопрос: всегда ли выражение $\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ имеет смысл? Когда нет? Что тогда делать

На $a$ ограничение у нас есть, единственное, что приходит в голову, так это $n=1$, в данном случае ответ $1$

[svv]

А что нехорошего происходит с этим выражением при $n=1$ ?

-- Пт мар 06, 2020 18:44:05 --

В самом деле происходит нечто нехорошее, но что именно? Сформулируйте, пожалуйста.

[Vladonpw]

svv в сообщении #1443308 писал(а):

В самом деле происходит нечто нехорошее, но что именно? Сформулируйте, пожалуйста.

При $n=1$ сокращается скобка в числителе и знаменателе, остается только $b_1$

[svv]

А чему в этом случае равны числитель и знаменатель?

-- Пт мар 06, 2020 18:54:40 --

Vladonpw в сообщении #1443310 писал(а):

При $n=1$ сокращается скобка в числителе и знаменателе

Когда бы только это, ещё ничего страшного...

[Vladonpw]

svv в сообщении #1443311 писал(а):

А чему в этом случае равны числитель и знаменатель?

Они равны $0$
Но когда $n=1$, то можно ведь и не пользоваться суммой прогрессии

[svv]

И вот это полностью лишает "сокращение" смысла.
Слышали, что на $0$ делить нельзя? Дробь, у которой знаменатель равен нулю, смысла не имеет, независимо от значения числителя.

-- Пт мар 06, 2020 19:00:46 --

Vladonpw в сообщении #1443313 писал(а):

Но когда $n=1$, то можно ведь и не пользоваться суммой прогрессии

Правильно. (Точнее, той формулой в этом случае нельзя пользоваться.) Но Вы не выявили ещё всех случаев, когда происходит неприятность.
Вам надо чётко сформулировать условие неприятности.

[Vladonpw]

svv в сообщении #1443315 писал(а):

Правильно. (Точнее, формулой в этом случае нельзя пользоваться.) Но Вы не выявили ещё всех случаев, когда происходит неприятность.
Вам надо сформулировать чёткое условие неприятности.

Подозреваю, что случай, когда $n \to \inf$, в таком случае показатель степени $q$ стремится к $0$, а значит, само число - к $1$, тогда знаменатель обращается в $0$

[svv]

Vladonpw в сообщении #1443318 писал(а):

знаменатель обращается в $0$

Вот. Это всё, что я от Вас сейчас хотел.

А когда знаменатель обращается в $0$? Посмотрите, для него ведь есть формула.

[Vladonpw]

svv в сообщении #1443319 писал(а):

А когда знаменатель обращается в $0$? Посмотрите, для него ведь есть формула.

При $n \to \inf$