2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ряд
Сообщение06.03.2020, 12:36 


14/10/19
55
Дан ряд:
$\sum\limits_{k=1}^{n}e^{\frac{2 \cdot \pi \cdot i \cdot a \cdot k}{n}}$
Для всех целых чисел $a$ необходимо вычислить сумму.
Я исходил из равенства Эйлера, что $e^{\pi i}=-1$, потом учел квадрат, получил $\sum\limits_{k=1}^{n}1^{\frac{a \cdot k}{n}}=n $
Загуглил тождество Эйлера, обнаружил там обобщенный вариант подобной суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}e^{\frac{2 \cdot \pi \cdot i  \cdot k}{n}}=0$ и начал сомневаться в своем решении. Допустил ли я ошибки какие-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Vladonpw в сообщении #1443250 писал(а):
$e^{\pi i}=-1$, потом учел квадрат
В комплексных числах равенство $e^{ab} = (e^a)^b$ для не-целых $b$ не работает. Точнее там нужно правильно выбирать корень - выражение $1^\frac{1}{3}$ имеет $3$ значения, а не одно.
Здесь вы можете воспользоваться тем что для целых $b$ оно всё-таки работает (но только за счет основания экспоненты; если $e$ заменить на произвольное число, то перестанет), и воспользоваться суммой геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 14:11 


14/10/19
55
mihaild в сообщении #1443251 писал(а):
воспользоваться суммой геометрической прогрессии.

То есть начальный член $b_1=e^{\frac{2 a \pi i}{n}}$

$q=e^{\frac{2 a \pi i}{n}}$

$q^{n-1}=e^{2 a \pi i \cdot(n-1)/n}=e^{2 \pi i a} \cdot e^{-\frac{2 \pi i a}{n}}=1 \cdot e^{-\frac{2 \pi i a}{n}}$

$S = \frac{b_1(q^{n-1}-1)}{q-1} = \frac{e^{\frac{2 a \pi i}{n}} \cdot (e^{-\frac{2 \pi i a}{n}}-1)}{e^{\frac{2 a \pi i}{n}}-1} = \frac{1-e^{\frac{2 a \pi i}{n}}}{e^{\frac{2 a \pi i}{n}}-1}=-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Vladonpw в сообщении #1443268 писал(а):
$S = \frac{b_1(q^{n{\color{magenta}-1}}-1)}{q-1}$
:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 17:24 


14/10/19
55
svv в сообщении #1443290 писал(а):
Vladonpw в сообщении #1443268

писал(а):
$S = \frac{b_1(q^{n{\color{magenta}-1}}-1)}{q-1}$ :?:

Ошибка, сначала верно с $q^{n}$ написал, получилось 0 в ответе, потом исправил на неверное, соответственно, получил -1.
Ответ итоговый 0

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Это уже лучше.
Вопрос: всегда ли выражение $\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ имеет смысл? Когда нет? Что тогда делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 17:38 


14/10/19
55
svv в сообщении #1443305 писал(а):
Вопрос: всегда ли выражение $\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ имеет смысл? Когда нет? Что тогда делать

На $a$ ограничение у нас есть, единственное, что приходит в голову, так это $n=1$, в данном случае ответ $1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
А что нехорошего происходит с этим выражением при $n=1$ ?

-- Пт мар 06, 2020 18:44:05 --

В самом деле происходит нечто нехорошее, но что именно? Сформулируйте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 17:49 


14/10/19
55
svv в сообщении #1443308 писал(а):
В самом деле происходит нечто нехорошее, но что именно? Сформулируйте, пожалуйста.

При $n=1$ сокращается скобка в числителе и знаменателе, остается только $b_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
А чему в этом случае равны числитель и знаменатель?

-- Пт мар 06, 2020 18:54:40 --

Vladonpw в сообщении #1443310 писал(а):
При $n=1$ сокращается скобка в числителе и знаменателе
Когда бы только это, ещё ничего страшного...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 17:57 


14/10/19
55
svv в сообщении #1443311 писал(а):
А чему в этом случае равны числитель и знаменатель?

Они равны $0$
Но когда $n=1$, то можно ведь и не пользоваться суммой прогрессии

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
И вот это полностью лишает "сокращение" смысла.
Слышали, что на $0$ делить нельзя? Дробь, у которой знаменатель равен нулю, смысла не имеет, независимо от значения числителя.

-- Пт мар 06, 2020 19:00:46 --

Vladonpw в сообщении #1443313 писал(а):
Но когда $n=1$, то можно ведь и не пользоваться суммой прогрессии

Правильно. (Точнее, той формулой в этом случае нельзя пользоваться.) Но Вы не выявили ещё всех случаев, когда происходит неприятность.
Вам надо чётко сформулировать условие неприятности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 18:08 


14/10/19
55
svv в сообщении #1443315 писал(а):
Правильно. (Точнее, формулой в этом случае нельзя пользоваться.) Но Вы не выявили ещё всех случаев, когда происходит неприятность.
Вам надо сформулировать чёткое условие неприятности.

Подозреваю, что случай, когда $n \to \inf$, в таком случае показатель степени $q$ стремится к $0$, а значит, само число - к $1$, тогда знаменатель обращается в $0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Vladonpw в сообщении #1443318 писал(а):
знаменатель обращается в $0$
Вот. Это всё, что я от Вас сейчас хотел.

А когда знаменатель обращается в $0$? Посмотрите, для него ведь есть формула.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд
Сообщение06.03.2020, 18:12 


14/10/19
55
svv в сообщении #1443319 писал(а):
А когда знаменатель обращается в $0$? Посмотрите, для него ведь есть формула.

При $n \to \inf$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group