Trig. identity 1

[rsoldo]

Prove

$$\prod_{k=1}^{n} \sin{\frac{k\pi}{2k+1}} = \frac{1}{2^n} \sqrt{2n+1}$$

$n$ is any nonegativ integer.

P.S. If it's possible solutions without using complex number.

[Someone]

rsoldo в сообщении #1442704 писал(а):

any nonegativ

May be, any positive integer?

[rsoldo]

Sorry, left side is

$$\prod_{k=1}^{n}\sin{\frac{k\pi}{2n+1}}$$

And, ok any positive integer $n$

[Farest2]

$$ P\stackrel{\rm def}{=}\prod_{k=1}^n \sin\frac{k\pi}{2n+1}. $$

1. $P>0$.

2. $P^2=\prod\limits_{k=1}^{2n} \sin\dfrac{k\pi}{2n+1}\stackrel{?}{=}\dfrac{2n+1}{2^{2n}}$

3. $\prod\limits_{k=1}^{n-1} \sin\dfrac{k\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}$. Классика...

[nnosipov]

Farest2 в сообщении #1442730 писал(а):

Классика...

Согласен. Но что это делает в олимпиадном разделе? Задача-то вполне заурядная.

rsoldo в сообщении #1442704 писал(а):

without using complex number

Ну, знаете ли... Не проще ли выучить, что такое комплексные числа, чем так извращаться.

[Farest2]

nnosipov в сообщении #1442734 писал(а):

Но что это делает в олимпиадном разделе? Задача-то вполне заурядная.

Ну, была в http://www.mathnet.ru/rm1549 и не сказал бы, что её многие решили.

[nnosipov]

Хм, это несколько странно. Другие задачи из того списка гораздо труднее (на мой взгляд).

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Farest2 в сообщении #1442739 писал(а):

была в http://www.mathnet.ru/rm1549
и н

странно, что в число сложных вошла задача про доказательство бесконечной продолжаемости вправо решений $y'=x^2-y^5$ Видимо рисовать фазовый портрет не учат