2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 11:04 


01/08/19
95
Prove $$\prod_{k=1}^{n} \sin{\frac{k\pi}{2k+1}} = \frac{1}{2^n} \sqrt{2n+1}$$ $n$ is any nonegativ integer.

P.S. If it's possible solutions without using complex number.

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
rsoldo в сообщении #1442704 писал(а):
any nonegativ
May be, any positive integer?

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 13:24 


01/08/19
95
Sorry, left side is $$\prod_{k=1}^{n}\sin{\frac{k\pi}{2n+1}}$$

And, ok any positive integer $n$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 13:43 


26/04/11
90
$$
P\stackrel{\rm def}{=}\prod_{k=1}^n \sin\frac{k\pi}{2n+1}.
$$

1. $P>0$.

2. $P^2=\prod\limits_{k=1}^{2n} \sin\dfrac{k\pi}{2n+1}\stackrel{?}{=}\dfrac{2n+1}{2^{2n}}$

3. $\prod\limits_{k=1}^{n-1} \sin\dfrac{k\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}$. Классика...

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 14:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Farest2 в сообщении #1442730 писал(а):
Классика...
Согласен. Но что это делает в олимпиадном разделе? Задача-то вполне заурядная.
rsoldo в сообщении #1442704 писал(а):
without using complex number
Ну, знаете ли... Не проще ли выучить, что такое комплексные числа, чем так извращаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 14:31 


26/04/11
90
nnosipov в сообщении #1442734 писал(а):
Но что это делает в олимпиадном разделе? Задача-то вполне заурядная.

Ну, была в http://www.mathnet.ru/rm1549 и не сказал бы, что её многие решили. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 14:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Хм, это несколько странно. Другие задачи из того списка гораздо труднее (на мой взгляд).

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 19:40 
Аватара пользователя


31/08/17
2116

(Оффтоп)

Farest2 в сообщении #1442739 писал(а):


странно, что в число сложных вошла задача про доказательство бесконечной продолжаемости вправо решений $y'=x^2-y^5$ Видимо рисовать фазовый портрет не учат

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group