2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 11:04 


01/08/19
107
Prove $$\prod_{k=1}^{n} \sin{\frac{k\pi}{2k+1}} = \frac{1}{2^n} \sqrt{2n+1}$$ $n$ is any nonegativ integer.

P.S. If it's possible solutions without using complex number.

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
rsoldo в сообщении #1442704 писал(а):
any nonegativ
May be, any positive integer?

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 13:24 


01/08/19
107
Sorry, left side is $$\prod_{k=1}^{n}\sin{\frac{k\pi}{2n+1}}$$

And, ok any positive integer $n$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 13:43 


26/04/11
90
$$
P\stackrel{\rm def}{=}\prod_{k=1}^n \sin\frac{k\pi}{2n+1}.
$$

1. $P>0$.

2. $P^2=\prod\limits_{k=1}^{2n} \sin\dfrac{k\pi}{2n+1}\stackrel{?}{=}\dfrac{2n+1}{2^{2n}}$

3. $\prod\limits_{k=1}^{n-1} \sin\dfrac{k\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}$. Классика...

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 14:02 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Farest2 в сообщении #1442730 писал(а):
Классика...
Согласен. Но что это делает в олимпиадном разделе? Задача-то вполне заурядная.
rsoldo в сообщении #1442704 писал(а):
without using complex number
Ну, знаете ли... Не проще ли выучить, что такое комплексные числа, чем так извращаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 14:31 


26/04/11
90
nnosipov в сообщении #1442734 писал(а):
Но что это делает в олимпиадном разделе? Задача-то вполне заурядная.

Ну, была в http://www.mathnet.ru/rm1549 и не сказал бы, что её многие решили. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 14:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Хм, это несколько странно. Другие задачи из того списка гораздо труднее (на мой взгляд).

 Профиль  
                  
 
 Re: Trig. identity 1
Сообщение03.03.2020, 19:40 
Аватара пользователя


31/08/17
2116

(Оффтоп)

Farest2 в сообщении #1442739 писал(а):


странно, что в число сложных вошла задача про доказательство бесконечной продолжаемости вправо решений $y'=x^2-y^5$ Видимо рисовать фазовый портрет не учат

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group