2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 17:05 
Аватара пользователя


10/05/09
230
Лес
Пусть дана числовая последовательность $(a_n)$. Как известно, если последовательность сходится, то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n}=a$, $\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n+1}=a.$. Почему верно обратное? Если две подпоследовательности сходятся одному и тому же числу, то это же еще не означает, что сама последовательность также сходится к этому числу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ёж в сообщении #1442399 писал(а):
Если две подпоследовательности

Тут их действительно две, но они не просто две, а конкретные две.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 17:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ёж
Обратное — это «если любая подпоследовательность сходится к $a$, то сходится к $a$ и сама последовательность»? Ну тогда во-первых двух мало, а во-вторых это тривиально, потому что последовательность сама себе подпоследовательность, и если она сходится, то она сходится.

-- Вс мар 01, 2020 19:20:27 --

А, ну наверно не оно, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 17:22 


02/05/19
396
Ёж, тут две очень интересные подпоследовательности! :-) Как они относятся ко всей последовательности?

arseniiv,

(Оффтоп)

Почему-то редко формулируют такое простое утверждение (я вообще не помню, встречал ли его в учебниках):
Если всякая подпоследовательность, отличная от последовательности, сходится, то и последовательность сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Connector
Ну, наверное, потому, что это утверждение тривиально: возьмём подпоследовательность, полученную из исходной удалением начального элемента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 18:31 
Аватара пользователя


10/05/09
230
Лес
Connector в сообщении #1442407 писал(а):
Ёж, тут две очень интересные подпоследовательности! :-) Как они относятся ко всей последовательности?

Интуитивно понимаю. Но не совсем понятно, вот что: пусть дана последовательность $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ и подпоследовательности $a_{2}, a_{4}, ..., a_{2n}, ...$ и $a_{1}, a_{3}, ..., a_{2n+1}, ...$ сходятся одному и тому числу, и поэтому последовательность $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ также сходится этому числу (т.е. любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу).

Почему из условия, что подпоследовательности $a_{2}, a_{4}, ..., a_{2n}, ...$ и $a_{1}, a_{3}, ..., a_{2n+1}, ...$ сходятся одному и тому числу, следует, например, что подпоследовательность $a_{4}, a_{7}, a_{8}, a_{12},a_{13}, a_{16}, a_{19}, a_{20}, a_{24}, a_{25},..., a_{4n}, a_{6n+1},...$ сходится этому числу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Распишите, что значит, что эти последовательности сходятся. Вот честно, с эпсилонами и дельта: для любого $\varepsilon > 0 \exits N \forall n > N \ldots$. И потом попробуйте из этих двух формул собрать одну того же вида, но уже для всей последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 18:43 


02/05/19
396

(svv)

Да, действительно... Можно немного изменить формулировку, чтобы утверждение было не таким тривиальным: потребовать сходимости только таких подпоследовательностей, которые не могут быть получены отсечением начального отрезка (т. е., таких, что для любого натурального $n$ найдётся $m>n$, такое что $a_m$ не принадлежит подпоследовательности.). Тогда доказательство можно предложить в качестве упражнения. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение01.03.2020, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Могу предложить такую формулировку. Доказательство идейно нисколько не сложнее доказательства для двух подпоследовательностей, хотя, конечно,чуть длиннее.
Пусть задана последовательность $a_n$, $n\in\mathbb N$, и пусть $N_k$, $1\leqslant k\leqslant m$, — бесконечные подмножества натурального ряда $\mathbb N$, объединение которых содержит все натуральные числа, кроме, может быть, конечного числа. Пусть $N_k=\{n_{k,j}:j\in\mathbb N\}$, $1\leqslant k\leqslant m$, причём, элементы перенумерованы индексом $j$ в порядке возрастания.
Теорема. Если существует такое число $l$, что $\lim\limits_{j\to\infty}a_{n_j}=l$ для всех $k$, $1\leqslant k\leqslant m$, то $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=l$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение02.03.2020, 08:39 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Ёж
Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность, то утверждение очевидно ложно

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение02.03.2020, 10:49 


11/02/20
57
Sicker в сообщении #1442531 писал(а):
Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность, то утверждение очевидно ложно

Очевидно, что нет.

(Оффтоп)

Если решить данный вопрос, то можно задаться следующими:

1) Если подпоследовательности $\{a_{2n}\}\limits_{n=1}^\infty$ и $\{a_{2n+1}\}\limits_{n=1}^\infty$ просто сходятся, то сходится ли $\{a_{n}\}\limits_{n=1}^\infty$?

2) А если сходятся подпоследовательности $\{a_{2n}\}\limits_{n=1}^\infty$, $\{a_{2n+1}\}\limits_{n=1}^\infty$, $\{a_{3n}\}\limits_{n=1}^\infty$?

3) Будет ли сходится последовательность $\{a_{n}\}\limits_{n=1}^\infty$, если сходятся подпоследовательности $\{a_{nk}\}\limits_{n=1}^\infty$ для любого $k\in\mathbb{N}$, $k>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение02.03.2020, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
1) Просто сходиться можно и к разным пределам
2) Посмотрите подпоследовательности с номерами $6n$ и $6n+3$
3) $1\in \mathbb N$

PS. Вопросы, на которые отвечал, думал исчезли, ан нет - они в оффтопе.

-- Пн мар 02, 2020 14:22:17 --

FL91 в сообщении #1442538 писал(а):
Очевидно, что нет.

Не ясно, что означает нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение02.03.2020, 11:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
FL91 в сообщении #1442538 писал(а):
Sicker в сообщении #1442531 писал(а):
Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность, то утверждение очевидно ложно
Очевидно, что нет.
:shock:

${\color{magenta}0},{\color[rgb]{0,.5,0}0},1,{\color{magenta}0},{\color[rgb]{0,.5,0}0},1,{\color{magenta}0},{\color[rgb]{0,.5,0}0},1,\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение02.03.2020, 11:36 


11/02/20
57
Если выбросить конечное число членов подпоследовтельностей в $\{a_{2n}\}\limits_{n=1}^\infty$ и $\{a_{2n+1}\}\limits_{n=1}^\infty$ их объединение будет содержать всю последовательность $\{a_n\}_{n=1}^\infty$?

Это я и имел ввиду.

Касательно offtop-а. В третьем вопросе $k>1$, опечатался. Вопросы задавал не для себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел числовой последовательности
Сообщение02.03.2020, 11:38 


02/05/19
396
Sicker в сообщении #1442531 писал(а):
Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность

За исключением, возможно, конечного множества её членов. :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group