Предел числовой последовательности

[Ёж]

Пусть дана числовая последовательность $(a_n)$. Как известно, если последовательность сходится, то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n}=a$, $\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n+1}=a.$. Почему верно обратное? Если две подпоследовательности сходятся одному и тому же числу, то это же еще не означает, что сама последовательность также сходится к этому числу?

[demolishka]

Ёж в сообщении #1442399 писал(а):

Если две подпоследовательности

Тут их действительно две, но они не просто две, а конкретные две.

[arseniiv]

Ёж
Обратное — это «если любая подпоследовательность сходится к $a$, то сходится к $a$ и сама последовательность»? Ну тогда во-первых двух мало, а во-вторых это тривиально, потому что последовательность сама себе подпоследовательность, и если она сходится, то она сходится.

-- Вс мар 01, 2020 19:20:27 --

А, ну наверно не оно, да.

[Connector]

Ёж, тут две очень интересные подпоследовательности! Как они относятся ко всей последовательности?

arseniiv,

(Оффтоп)

Почему-то редко формулируют такое простое утверждение (я вообще не помню, встречал ли его в учебниках):
Если всякая подпоследовательность, отличная от последовательности, сходится, то и последовательность сходится.

[svv]

Connector
Ну, наверное, потому, что это утверждение тривиально: возьмём подпоследовательность, полученную из исходной удалением начального элемента.

[Ёж]

Connector в сообщении #1442407 писал(а):

Ёж, тут две очень интересные подпоследовательности! Как они относятся ко всей последовательности?

Интуитивно понимаю. Но не совсем понятно, вот что: пусть дана последовательность $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ и подпоследовательности $a_{2}, a_{4}, ..., a_{2n}, ...$ и $a_{1}, a_{3}, ..., a_{2n+1}, ...$ сходятся одному и тому числу, и поэтому последовательность $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ также сходится этому числу (т.е. любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу).

Почему из условия, что подпоследовательности $a_{2}, a_{4}, ..., a_{2n}, ...$ и $a_{1}, a_{3}, ..., a_{2n+1}, ...$ сходятся одному и тому числу, следует, например, что подпоследовательность $a_{4}, a_{7}, a_{8}, a_{12},a_{13}, a_{16}, a_{19}, a_{20}, a_{24}, a_{25},..., a_{4n}, a_{6n+1},...$ сходится этому числу?

[mihaild]

Распишите, что значит, что эти последовательности сходятся. Вот честно, с эпсилонами и дельта: для любого $\varepsilon > 0 \exits N \forall n > N \ldots$. И потом попробуйте из этих двух формул собрать одну того же вида, но уже для всей последовательности.

[Connector]

(svv)

Да, действительно... Можно немного изменить формулировку, чтобы утверждение было не таким тривиальным: потребовать сходимости только таких подпоследовательностей, которые не могут быть получены отсечением начального отрезка (т. е., таких, что для любого натурального $n$ найдётся $m>n$, такое что $a_m$ не принадлежит подпоследовательности.). Тогда доказательство можно предложить в качестве упражнения.

[Someone]

Могу предложить такую формулировку. Доказательство идейно нисколько не сложнее доказательства для двух подпоследовательностей, хотя, конечно,чуть длиннее.
Пусть задана последовательность $a_n$, $n\in\mathbb N$, и пусть $N_k$, $1\leqslant k\leqslant m$, — бесконечные подмножества натурального ряда $\mathbb N$, объединение которых содержит все натуральные числа, кроме, может быть, конечного числа. Пусть $N_k=\{n_{k,j}:j\in\mathbb N\}$, $1\leqslant k\leqslant m$, причём, элементы перенумерованы индексом $j$ в порядке возрастания.
Теорема. Если существует такое число $l$, что $\lim\limits_{j\to\infty}a_{n_j}=l$ для всех $k$, $1\leqslant k\leqslant m$, то $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=l$.

[Sicker]

Ёж
Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность, то утверждение очевидно ложно

[FL91]

Sicker в сообщении #1442531 писал(а):

Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность, то утверждение очевидно ложно

Очевидно, что нет.

(Оффтоп)

Если решить данный вопрос, то можно задаться следующими:

1) Если подпоследовательности $\{a_{2n}\}\limits_{n=1}^\infty$ и $\{a_{2n+1}\}\limits_{n=1}^\infty$ просто сходятся, то сходится ли $\{a_{n}\}\limits_{n=1}^\infty$?

2) А если сходятся подпоследовательности $\{a_{2n}\}\limits_{n=1}^\infty$, $\{a_{2n+1}\}\limits_{n=1}^\infty$, $\{a_{3n}\}\limits_{n=1}^\infty$?

3) Будет ли сходится последовательность $\{a_{n}\}\limits_{n=1}^\infty$, если сходятся подпоследовательности $\{a_{nk}\}\limits_{n=1}^\infty$ для любого $k\in\mathbb{N}$, $k>1$.

[bot]

1) Просто сходиться можно и к разным пределам
2) Посмотрите подпоследовательности с номерами $6n$ и $6n+3$
3) $1\in \mathbb N$

PS. Вопросы, на которые отвечал, думал исчезли, ан нет - они в оффтопе.

-- Пн мар 02, 2020 14:22:17 --

FL91 в сообщении #1442538 писал(а):

Очевидно, что нет.

Не ясно, что означает нет.

[svv]

FL91 в сообщении #1442538 писал(а):

Sicker в сообщении #1442531 писал(а):

Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность, то утверждение очевидно ложно

Очевидно, что нет.

${\color{magenta}0},{\color[rgb]{0,.5,0}0},1,{\color{magenta}0},{\color[rgb]{0,.5,0}0},1,{\color{magenta}0},{\color[rgb]{0,.5,0}0},1,\ldots$

[FL91]

Если выбросить конечное число членов подпоследовтельностей в $\{a_{2n}\}\limits_{n=1}^\infty$ и $\{a_{2n+1}\}\limits_{n=1}^\infty$ их объединение будет содержать всю последовательность $\{a_n\}_{n=1}^\infty$?

Это я и имел ввиду.

Касательно offtop-а. В третьем вопросе $k>1$, опечатался. Вопросы задавал не для себя.

[Connector]

Sicker в сообщении #1442531 писал(а):

Если у вас объединение двух подпоследовательностей не охватывает всю последовательность

За исключением, возможно, конечного множества её членов. :)