Мера множества

[artempalkin]

Ничего особо не могу придумать и ничего похожего не нашел в задачниках и учебниках :(

Найти меру Лебега множества всех точек отрезка [0,1], двоичное разложение которых содержит бесконечно много серий из двух нулей подряд

[ИСН]

Надо понять (неформально), "мало" таких чисел или "много". Это легко. Потом я бы пытался доказать, что искомая мера, соответственно - 0 или 1.

[artempalkin]

Их "много", мощность континуум совершенно точно. Мера, наверное, 0 или 1, тут я соглашусь :) Но никаких соображений на тему как ее найти, нету :(

[ИСН]

Что континуум, это тривиально. Да только ведь оставшихся тоже континуум. Я не в этом смысле.

[artempalkin]

ИСН в сообщении #1441919 писал(а):

Надо понять (неформально), "мало" таких чисел или "много". Это легко. Потом я бы пытался доказать, что искомая мера, соответственно - 0 или 1.

А что вы тогда имеете в виду, к тому же говоря, что это "легко"? Если не секрет, конечно :)

Множество мощности континуум, всюду плотно... оставшееся множество тоже мощности континуум, тоже всюду плотно...

[mihaild]

Попробуйте начать тогда с более простого. Например, чему равна мера множества точек, в разложении которых нет двух нулей подряд? А таких, в разложении которых два нуля подряд встречаются максимум один раз?

[Munin]

ИСН в сообщении #1441919 писал(а):

Потом я бы пытался доказать, что искомая мера, соответственно - 0 или 1.

А часто ли встречаются задачи, в которых искомая мера оказывается, например, ${}^1\!/\!_2$ или ${}^1\!/\!_3$?

[ИСН]

artempalkin Ну Вы знаете какое-нибудь свойство, которым обладают "почти все" числа, но не все?

Munin Встречаются в задачах метрической теории цепных дробей, но это явно не тот случай.

[artempalkin]

mihaild Честно говоря, мне эти задачи не кажутся проще, чем исходная :( Вообще эти задачи на меру всяких "интересных" множеств не имеют общего метода решения, насколько я могу судить.

ИСН Эээ... ну, иррациональность? невычислимость?

[mihaild]

artempalkin, в таких задачах полезно представлять нужные множества в виде пересечения / объединения каких-то семейств.
Давайте возьмем вариант "посчитать меру множества точек, в разложении которых нет двух нулей подряд".
Чему равна мера множества точек, в разложении которых первые два разряда отличны от двух нулей? А мера, в которых первые два разряда отличны от двух нулей, и вторые два разряда тоже отличны от двух нулей?

[ИСН]

Можно заходить с этого конца, а можно с другого. Так вот, есть так называемые нормальные числа...

[artempalkin]

mihaild

Насколько я понимаю, мера любого множества "два конкретных разряда подряд не равны нулю" будет 3/4.

Соответственно, если речь идет об одновременной первой паре и второй паре (я так понимаю, что имеется в виду первая пара - 1 и 2 разряды, вторая пара - 2 и 3 разряды), то нужно использовать формулу включений и исключений, и получится

\mu(\bar{1},\bar{2})=1-2\mu(1)+\mu(1,2)=1-\frac24+\frac18=\frac58.

Подозреваю, что, действуя по аналогии, мы получим, что для четырех подряд разрядов это будет 9/16 и так далее. В пределе, мера множества точек, двоичная запись которых не содержит ни одной пары нулей подряд будет 1/2 (кстати, я так понимаю, переход к пределу типа нетривиален и следует из непрерывности меры Лебега). Прав ли я?

На случай если я прав (я не совсем уверен, т.к. немножко муторно со всеми этими пересекающимися множествами, но смысл понятен), далее мы рассматриваем множество, в котором лишь одна пара нулей подряд (мдааа, это целое дело), множество, где их ровно две (а три нуля подряд считаются за две пары? думаю, да. фигасебе задачка), три и так далее, все их обмериваем, складываем все их меры, получаем скорее всего 1, итого мера исходного множества будет 0, т.к. оно дополняет объединение всех этих множеств.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1442107 писал(а):

вторая пара - 2 и 3 разряды

Нет, под "второй парой" понимался 3 и 4 разряды (специально чтобы не возиться с подсчетами пересечениями, это тут лишние сложности). Какой тогда ответ получается?

artempalkin в сообщении #1442107 писал(а):

для четырех подряд разрядов это будет 9/16 и так далее

Нет, чисел, у которых среди первых четырех разрядов ни одной пары нулей подряд, меньше.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1442111 писал(а):

artempalkin в сообщении #1442107 писал(а):

вторая пара - 2 и 3 разряды

Нет, под "второй парой" понимался 3 и 4 разряды (специально чтобы не возиться с подсчетами пересечениями, это тут лишние сложности). Какой тогда ответ получается?

artempalkin в сообщении #1442107 писал(а):

для четырех подряд разрядов это будет 9/16 и так далее

Нет, чисел, у которых среди первых четырех разрядов ни одной пары нулей подряд, меньше.

Ааа, ну да, тогда как раз и получается 9/16, и тогда мера для 4-х подряд будет меньше (я сейчас осознал, что это будет просто комбинаторная задача, или скорее вероятностная: вроде бы 7/16, но пока не понял, как решить ее в общем случае)

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1442115 писал(а):

мера для 4-х подряд будет меньше

Да, меньше. Если точнее - то $\frac{8}{16}$ (из еще не запрещенных наборов надо запретить один - $1001$). Но это неважно.
А какова мера чисел, у которых нет двух нулей в 1 и 2 разрядах, нет двух нулей в 3 и 4 разрядах, нет двух нулей в 5 и 6 разрядах? И какова в итоге получится мера чисел, у которых вообще нет двух нулей подряд?