2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ферма-подобные уравнения
Сообщение15.02.2020, 20:50 


16/08/19
103
На проекте Ферма лежит вот такая задача
http://euler.jakumo.org/problems/view/678.html

Там требуется найти F(10^{18})

F(10^{7}) я нашел, выглядит это примерно так:
2^2 + 11^2 = 5^3
5^2 + 10^2 = 5^3
7^2 + 24^2 = 5^4
7^2 + 524^2 = 65^3
9^2 + 46^2 = 13^3
10^2 + 30^2 = 10^3
10^2 + 55^2 = 5^5
10^2 + 198^2 = 34^3
12^2 + 316^2 = 10^5
15^2 + 20^2 = 5^4
...
1927^2 + 2214^2 = 205^3
1992^2 + 2456^2 = 10^7
2072^2 + 2288^2 = 212^3
3^3 + 6^3 = 3^5
9^3 + 18^3 = 3^8
9^3 + 18^3 = 9^4
27^3 + 54^3 = 3^11
28^3 + 84^3 = 28^4
70^3 + 105^3 = 35^4
81^3 + 162^3 = 3^14
81^3 + 162^3 = 9^7
96^3 + 192^3 = 24^5
17^4 + 34^4 = 17^5

Непонятно, как найти F(10^{18})
Я делаю тупой проход, и у меня вложенность 5 циклов
Как они это делают, непонятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферма-подобные уравнения
Сообщение16.02.2020, 09:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Для $e=2$ точно работают гауссовы целые числа:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BB%D0%B0
В частности, если дано уравнение $x^2+y^2=A$, то число его решений очень легко найти через разложение $A$ на множители: оно есть тогда и только тогда, когда $A=2^ap_1^{a_1}...p_s^{a_s}q_1^{2b_1}...q_r^{2b_r}$, а число решений при $a=0$ будет равно $(a_1+1)...(a_s+1)$.
При $e\geqslant 3$ как-то иначе.
Ну еще НОД надо пробовать использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферма-подобные уравнения
Сообщение25.02.2020, 16:46 


25/02/20
1
Если принять, что $z^n=a^n+b^n$, при условии, что $a\geqslant1$, $b\geqslant1$ и $a\geqslant(b)$ можно записать равенство в искусственном виде с помощью выделения целой части отношения $a/b$ То есть $z=b\cdot[\frac{a}{b}]\cdot f(a,b)^{1/n}$ Полностью так $z=b\cdot[\frac{a}{b}]\cdot(1/[\frac{a}{b}]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}]^n)^{1/n}$ Выражение под корнем $(1/[\frac{a}{b}]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}]^n)$ и выражение $(1/[\frac{a}{b}]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}]^n)^{1/n}$ графически представлены в виде множества нисходящих кривых. Например, в зависимости от целочисленных делителей для чисел $a=2000$ и каждом b от $b=1$ до $b=a$ получается при $a/b<(1/2)$ множество нисходящих кривых, при $a/b>(1/2)$ одна нисходящая кривая. (Построение в относительных координатах $(b/a)\cdot100$ Можно составить таблицу для наглядности сравнения значений функции для различных значений n) Возможно, поскольку множители b и $[\frac{a}{b}]$ - целые числа, наглядность полученного в относительных координатах графика степенной функции в виде множества кривых может быть чем-то полезна. Также можно использовать $z=b\cdot[\frac{a}{b}+2]\cdot(1/[\frac{a}{b}+2]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}+2]^n)^{1/n}$, прибавление целого числа не ведёт к изменению значения общего равенства. В этом случае значения функции $f(a,b)$, как мне представляется, будут в диапазоне меньше единицы. Соответственно и $f(a,b)^{1/n}$ также будет принимать значения меньше единицы) Прошу извинить за примитивные рассуждения о теореме Ферма и о расстояниях между числами на примерах простейших уравнений механики, а также за возможные ошибки ввиду отсутствия образования :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group