Ферма-подобные уравнения

[mathpath]

На проекте Ферма лежит вот такая задача
http://euler.jakumo.org/problems/view/678.html

Там требуется найти F(10^{18})

F(10^{7}) я нашел, выглядит это примерно так:
2^2 + 11^2 = 5^3
5^2 + 10^2 = 5^3
7^2 + 24^2 = 5^4
7^2 + 524^2 = 65^3
9^2 + 46^2 = 13^3
10^2 + 30^2 = 10^3
10^2 + 55^2 = 5^5
10^2 + 198^2 = 34^3
12^2 + 316^2 = 10^5
15^2 + 20^2 = 5^4
...
1927^2 + 2214^2 = 205^3
1992^2 + 2456^2 = 10^7
2072^2 + 2288^2 = 212^3
3^3 + 6^3 = 3^5
9^3 + 18^3 = 3^8
9^3 + 18^3 = 9^4
27^3 + 54^3 = 3^11
28^3 + 84^3 = 28^4
70^3 + 105^3 = 35^4
81^3 + 162^3 = 3^14
81^3 + 162^3 = 9^7
96^3 + 192^3 = 24^5
17^4 + 34^4 = 17^5

Непонятно, как найти F(10^{18})
Я делаю тупой проход, и у меня вложенность 5 циклов
Как они это делают, непонятно

[Sonic86]

Для $e=2$ точно работают гауссовы целые числа:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BB%D0%B0
В частности, если дано уравнение $x^2+y^2=A$, то число его решений очень легко найти через разложение $A$ на множители: оно есть тогда и только тогда, когда $A=2^ap_1^{a_1}...p_s^{a_s}q_1^{2b_1}...q_r^{2b_r}$, а число решений при $a=0$ будет равно $(a_1+1)...(a_s+1)$.
При $e\geqslant 3$ как-то иначе.
Ну еще НОД надо пробовать использовать.

[VladKm]

Если принять, что $z^n=a^n+b^n$, при условии, что $a\geqslant1$, $b\geqslant1$ и $a\geqslant(b)$ можно записать равенство в искусственном виде с помощью выделения целой части отношения $a/b$ То есть $z=b\cdot[\frac{a}{b}]\cdot f(a,b)^{1/n}$ Полностью так $z=b\cdot[\frac{a}{b}]\cdot(1/[\frac{a}{b}]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}]^n)^{1/n}$ Выражение под корнем $(1/[\frac{a}{b}]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}]^n)$ и выражение $(1/[\frac{a}{b}]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}]^n)^{1/n}$ графически представлены в виде множества нисходящих кривых. Например, в зависимости от целочисленных делителей для чисел $a=2000$ и каждом b от $b=1$ до $b=a$ получается при $a/b<(1/2)$ множество нисходящих кривых, при $a/b>(1/2)$ одна нисходящая кривая. (Построение в относительных координатах $(b/a)\cdot100$ Можно составить таблицу для наглядности сравнения значений функции для различных значений n) Возможно, поскольку множители b и $[\frac{a}{b}]$ - целые числа, наглядность полученного в относительных координатах графика степенной функции в виде множества кривых может быть чем-то полезна. Также можно использовать $z=b\cdot[\frac{a}{b}+2]\cdot(1/[\frac{a}{b}+2]^n+(a/b)^n/[\frac{a}{b}+2]^n)^{1/n}$, прибавление целого числа не ведёт к изменению значения общего равенства. В этом случае значения функции $f(a,b)$, как мне представляется, будут в диапазоне меньше единицы. Соответственно и $f(a,b)^{1/n}$ также будет принимать значения меньше единицы) Прошу извинить за примитивные рассуждения о теореме Ферма и о расстояниях между числами на примерах простейших уравнений механики, а также за возможные ошибки ввиду отсутствия образования