Норма оператора умножения на функцию

[novichok2018]

Прошу помощи в такой задаче по основам функанализа. При каких условиях на функцию $a(x)$ можно посчитать явно норму оператора умножения на эту функцию

$$ (Af)(x)=a(x)f(x), A: L_2(0,1) \rightarrow L_2(0,1)? $$

В пространстве $C(0,1)$ задача элементарно решается, а здесь не знаю.

[g______d]

Ну вроде не будет сильной подсказкой сразу сказать ответ, поскольку он напрашивается:

$\|A\|=\mathrm{ess}\,\sup \{|a(x)|\colon x\in (0,1)\}$.

Несложно доказать неравенство и в ту, и в другую сторону.

Функция $a$ должна быть измерима по Лебегу.

[thething]

g______d в сообщении #1440624 писал(а):

Функция $a$ должна быть измерима по Лебегу.

Плюс существенно ограничена.

[novichok2018]

Как доказать, что это не оценка, а норма? На какой функции она достигается? Где почитать?

[thething]

Где почитать -- не знаю. Как доказать: берёте любое $\varepsilon<\|a\|_\infty$, находите множество положительной меры, на котором $|a(x)|>\varepsilon$ и применяете оператор к характеристической функции этого множества.