2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Норма оператора умножения на функцию
Сообщение20.02.2020, 21:11 
Прошу помощи в такой задаче по основам функанализа. При каких условиях на функцию $a(x)$ можно посчитать явно норму оператора умножения на эту функцию
$$
(Af)(x)=a(x)f(x), A: L_2(0,1) \rightarrow L_2(0,1)?
$$
В пространстве $C(0,1)$ задача элементарно решается, а здесь не знаю.

 
 
 
 Re: Норма оператора умножения на функцию
Сообщение20.02.2020, 21:45 
Аватара пользователя
Ну вроде не будет сильной подсказкой сразу сказать ответ, поскольку он напрашивается:

$\|A\|=\mathrm{ess}\,\sup \{|a(x)|\colon x\in (0,1)\}$.

Несложно доказать неравенство и в ту, и в другую сторону.

Функция $a$ должна быть измерима по Лебегу.

 
 
 
 Re: Норма оператора умножения на функцию
Сообщение21.02.2020, 03:50 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #1440624 писал(а):
Функция $a$ должна быть измерима по Лебегу.

Плюс существенно ограничена.

 
 
 
 Re: Норма оператора умножения на функцию
Сообщение21.02.2020, 12:29 
Как доказать, что это не оценка, а норма? На какой функции она достигается? Где почитать?

 
 
 
 Re: Норма оператора умножения на функцию
Сообщение21.02.2020, 12:48 
Аватара пользователя
Где почитать -- не знаю. Как доказать: берёте любое $\varepsilon<\|a\|_\infty$, находите множество положительной меры, на котором $|a(x)|>\varepsilon$ и применяете оператор к характеристической функции этого множества.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group