Ход лучей света в зеркале прожектора

[frostysh]

Луч света идет от источника точки $O$, попадает в $M$, отражается на зеркальной поверхности, и движется дальше, причем мы считаем луч после отражения параллельный оси ординат. Точка $M$ имеет координаты $\left(x, y\right)$. Из-за закона отражения $\angle OMN = \angle PMQ$, а также $\angle ONM = \angle PMQ$, как созданные параллельными прямыми, в результате $\triangle NOM$ — равнобедренный. С треугольника $\triangle KMN$ находим тангенс угла $\angle KMN$, который равен углу $\angle \alpha$ как вертикальные углы.

$$\tg{\alpha} = \dfrac{KO + ON}{KM},$$

и таким образом

$$\tg{\alpha} = \dfrac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x},$$

но откуда получается вот это?

$$y' = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y}$$

В смысле я понимаю геометрический смысл производной, но я не пойму откуда то что справа после знака равно образовалось, с рисунка не понять так сразу что-то... Книга "Рассказы о прикладной математике", Тихонов, Костомаров, страницы 176 — 178, а и еще одно, у меня там на рисунке не видно что $ON = OM$, но они вообще должны быть равны. Спасибо за ответы.

[Утундрий]

frostysh в сообщении #1440503 писал(а):

откуда получается вот это?

$$\[ \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {x^2 + y^2 } - y}} {x}}} {{\dfrac{x} {{\sqrt {x^2 + y^2 } + y}}}} = \frac{{\left( {\sqrt {x^2 + y^2 } - y} \right)\left( {\sqrt {x^2 + y^2 } + y} \right)}} {{x^2 }} = \frac{{\left( {\sqrt {x^2 + y^2 } } \right)^2 - \left( y \right)^2 }} {{x^2 }} = \frac{{x^2 + y^2 - y^2 }} {{x^2 }} = \frac{{x^2 }} {{x^2 }} = 1 \] $$

[frostysh]

Утундрий

Ага! Точно! Надо было самому додуматься разделит результат а то что предшствовало!

$$\dfrac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} \times \dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y} = \dfrac{x^{2} + y^{2} - y^{2}}{x\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y\right)} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y}$$

Домножить, разделить, это же математическая штука все время слышал о ней во времена учебы, чете забылось. Пора спать...